CHAPITRE X. 1S

sur 16 de largeur et 6 de profondeur : la dureté du premier terrain est à celle du second, dans le rapport de 4 à 5 ; on demande quelle doit être , sous toutes ces données , le rapport des forces de chaque ouvrier de chacune des deux bandes ?

Puisqu’on demande le rapport entre les forces d’un ouvrier de la première bande , et d’un ouvrier de la seconde , c’est-à-dire, la valeur de la fraction entre ces forces, ou pourra se donner l’un des termes de la fraction , et la question se réduira à trouver l’autre : or, rieu n’empêche de représenter par 1 le numérateur de cette fraction, qui sera, par exemple, la force d’un ouvrier de la première bande, et suivant que la valeur du rapport sera

— , 4- j ~r } 4- , etc. , la force d’un ouvrier de la seconde a o 4 5

bande sera double, triple, quadruple, etc. de celle d’un ouvrier de la première.

Cela posé , nous procéderons exactement comme nous l’avons fait dans la première solution du problème pré- 1 cèdent, c’est-à-dire, que nous chercherons à ramener les données relatives à la première bande d’ouvriers , à être les mêmes que celles qui sont relatives à la seconde bande , à l’exception de la force 1, et des profondeurs 7 et 6, données qui, étant au nombre de trois, fourniront une proportion entr’elles et la force inconnue dépendante de la totalité des élémens.

Ainsi , 1.” en ne considérant que les nombres d’ouvriers , abstraction faite des autres données qu’on suppose les mêmes de part et d’autre, et désignant par x r celle d’un ouvrier de la seconde bande , on aura la proportion inverse 5 o°*- : Go 0 "- = i r : x { (i.°)

2. 0 Les ouvriers des deux bandes étant maintenant an nombre de 5 o , et leurs forces étant cr f et z ( , lorsqu’on les fait travailler les premiers pendant 10 heures, et les se-

conds pendant 8 heures, différence de temps qui emporte celle des forces, on aura encore la proportion inverse 8 h : io h = x' : -J (a.°)

i58 ARITHMÉTIQUE,

3 .° Les deux bandes, toujours en même nombre, sont employées pendant 8 heures , avec la force z ; mais les premiers devant travailler pendant 12 jours et les seconds pendant 24 jours, les forces deviendront encore inégalés, et en représentant celle de la seconde bande par j«; f , on aura la proportion inverse

4 -° Les deux bandes, en même nombre, travaillent le même nombre de jours et d’heures par jour, avec la force y * : mais la première ayant k creuser 5 fossés, et la seconde 3 , il faut que les forces diffèrent : nous désignerons celle de la seconde bande par t f : mais si on observe que les fossés étant supposés avoir les mêmes longueurs , largeurs et profondeurs, les ouvrages sont exactement dans le rapport des nombres des fossés, qui sera le même que le rapport des forces, on aura cette proportion directe 5 f°, .. 3 fo, y . t t ( 4 .”)

5 .° Continuant à raisonner de la même manière, et observant qu’il ne reste plu? à considérer successivement que les, rapports entre les longueurs, les largeurs, les profondeurs , et les duretés des terrains * lesquels sont directs avec ceux des forces correspondantes, on aura cette suite de proportions directes

4 d : 5 d = X f : Yf ( 8 .°)

A l’effet d’évaluer Y r , qui est la représentation de la force de chaque ouvrier de la seconde bande, on multipliera terme à terme , les huit proportions précédentes , et on trouvera une proportion qui donnera . 60 12 10 3 70 16 6 5 f 3

ce qui veut dire qne la force d’un ouvrier de la seconde bande , sera les trois quarts de celle d’un ouvrier de la première bande.