CHAPITRE X. 1G

nlente ou diminue l’action ou l’effet. Lorsque l’effet restant le même, un des élémens de l’action augmente ou diminue , il faut qu’un autre élément de cette action diminue ou augmente : lorsque la quantité d’action restant la même, un des élémens de l’effet augmente ou diminue, il faut qu’un autre élément de cet effet diminue ou augmente.

Il faut observer que lorsqu’on a deux, bandes d’ouvriers dont les élémens d’actions et d’effets sont liés par les rapports qu’établit entr’eux l’énoncé de toute règle de trois dite composée , élémens dont l’nn est inconnu , il est toujours - vrai de dire qu’aux quantités d’action et d’effet d’une bande, il est permis de substituer les quantités d’action et d’eflet d’une autre bande, ou, en d’autres termes , que la résultante d’action et d’effet est la même de part et d’autre.

Je suppose qu’on ait écrit dans une colonne verticale A, tous les élémens relatifs k la i. cre bande, et d’abord ceux qui se rapportent à la quantité d’action , et uu-dessous ceux qui. se rapportent h la grandeur de l’effet; puis , dans une autre colonne verticale B , tous les élémens qui appartiennent à la seconde bande , et dans un ordre semblable , la colonne B contenant l’inconuuc qui peut être un des élémens soit de la quantité d’action soit de la grandeur de l’effet de la seconde bande.

La valeur de l’inconnue fournie par ces sortes de questions , est toujours composée d’une suite de facteurs dont l’un qn’on doit prendre pour multiplicande , est la donnée de l’espèce de l’inconnue, et dont les autres sont des rapports entre des données de la même espèce, rapports essentiellement abstraits , et dont le produit est le multiplicateur. Les raisonnemens suivans, quoiqu’ils reposeut sur cette forme d’expression, serviront cependant h la démontrer.

Maintenant si l’inconnue est an élément d’action , une

iGa ARITHMÉTIQUE,

augmentation de l’un quelconque des élémens d’actioft 4e la colonne A , toutes les autres données restant d’ailleurs les mêmes dans A et B , doit nécessairement influer en plus sur la quantité d’action de la colonne B : elle doit donc produire nn plus dans la valeur de l’inconnue qui est un élément d’action, et vice-versâ: donc tous les élétnens d’action de la colonne A doivent être des numérateurs dans la valeur de l’inconnue.

Supposons, en second lieu, une augmentation dans an des élémens d’effet de la colonne A, toutes les autres données restant les mêmes de part et d’autre : cette augmentation en produirait une dans la grandeur de l’effet : or, cette hypothèse revient évidemment à celle où l’effet restant le même, la quantité d’action de la colonne A diminuerait; donc celle de la colonne B doit diminuer: d’où on conclut que tous les élémens d’effet de la coloune

A, seront des dénominateurs daus la valeur de l’incomme.

Examinons, en troisième lieu, comment les données

de la colonne B doivent se comporter dans la formule de l’inconnue.

Lorsqu’un élément quelconque d’action augmente dans

B , toutes les autres données dans A et B restant les mêmes, l’action de B doit augmenter ; cependant comme la résultante totale de B doit rester la même , puisqu’elle doit équivaloir à la résultante totale de A qui n’a pas varié, il faut qu’elle diminue par un autre élément d’action ; diminution qui ne peut être produite que parcelle de l’inconnue : donc un plus dans un élément d’action de B , doit produire un moins dans la valeur de l’inconnue, et vice-versâ: d’où on conclut que tous les élémens d’action de B doivent être écrits en dénominateur.

Enfin , une variation en plus dans un élément d’effet de B, équivaudrait à une variation en moins dans un élément d’action de B, toutes les autres données restant les mêmes de part et d’autre ; d’où il suit que la résultante

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de tî diminuerait quand celle de A reste la même : il faut donc qu’elle augmeute par un autre élément d’action , qui ne peut être que l’iucounue: donc un plus dans un élément d’effet de B produit un plus dans la valeur de l’inconnue; d’où il suit que tous, les élémens d’effet de B doivent être numérateurs dans la valeur de l’inconnue.

On peut maintenant prendre pour inconnue un des élémens d’effet de la colonne B , et supposer , par exemple , dans la troisième question , que les forces des ouvriers de chaque bande étant données , il s’agisse de trouver, par exemple, la longeur x d’uu des 3 fossés k creuser par la 2 .“ bande : on tombera sur la formule suivante

tr” = 6ce m X TÿX-g X T X^X-X-X T X ^- = 70»

qu’ou pourra s’exercer à composer directement, en partant des principes ci - dessus appropriés k ce nouvel énoncé*

Règles d'intérêt^

L’argent étant supposé rapporter un certain bénéfice à Celui qui l’emploie dans une entreprise, la personne qui emprunte une certaine somme d’argent, doit, en la restituant, indemniser le prêteur des bénéfices qu’il eût obtenus s’il eût fait lui-même valoir cet argent. Cette indemnité se nomme intérêt. Cet intérêt est stipulé k raison de tant pour Joo fr. , par exemple , de 5 pour too fr. , d’où il est facile de déduire celui d’une somme quelconque au même taux . On distingue deux sortes d’intérêt , le simple et le composé. L’intérêt simple est celui qui ne porte plus intérêt, de sorte que l’intérêt simple d’un capital , pendant plusieurs années ; s’obtient en multipliant l’intérêt d’une année par le nombre des aunées pendant lesquelles il reste dans les mains de l’emprun-

a64 arithmétique,

teur. L’intérêt est dit composé lorsqu’au bout de la première année, il se joint au capital ; d’où résulte uu nouveau capital qui porte intérêt pendant l’année suivante, intérêt qu’on ajoute encore au dernier capital , pour former un nouveau capital portant encore intérêt, et ainsi de suite.

i. crc Question. Une personne a placé 84o f dans le commerce , à raison de 5 pour i oo f (ce qu'on note ainsi : 5 pour §); on demande ce que devient ce capital au bout d’une année P 11 est clair que ioo‘ seront dans 84o f , comme l’intérêt dû à ioo c sera dans l’intérêt dû à 84o f : on aura donc la proportion

ioo r :84o f = 5 c :x { ,

x désignant l’intérêt cherché : on en tire x— — — X 5 f ° ioo

= 4 a f : en ajoutant cet intérêt au capital, on trouve 88 a f pour la somme que l’emprunteur doit restituer au bout de l’année. On aurait pu obtenir par une seule opération le capital augmenté des intérêts, en disant: si ioo f deviennent io5 f au bout d’une année, que deviendront 84 o f ; ce qui se traduit dans cette proportion:

ioo f : io5 f = 840 : x = 88 a f ,

Plus le capital est considérable, plus l’intérêt est grand; le plus produit donc le plus, et la règle est directe. On peut encore observer que l’intérêt 5 f étant le ; 3 de ioo f , on aura l’intérêt d’une somme quelconque à ce taux , en prenant le vingtième de cette somme qu’on ajoutera au capital, pour avoir le capital augmenté de l’intérêt.

La question suivante offre un exemple d’intérêt composé, a.' Question. On a placé un capital de ioo f à . 5 pour cent d intérêt composé , on demande quelle est la somme quon doit retirer tant en capital qu'en intérêt , au bout de trois ans P

A la Gn de la première année, ou au commencement de la seconde, le capital ioo f se trouve augmenté. de l’intérêt, ce qui forme uu nouveau capital qui ,k la Gn de