CHAPITRE II

aux nombres des signes, et l’autre ùla position on au rang de chacun d’eux dans la phrase numérique , rang d’après lequel un chiffre compte, ou des dixaiucs, ou des centaines, etc., on peut écrire tous les nombres possibles.

De la convention de dix signes, ii résulte nécessairement que la progression des unités est décuple , en allant de droite vers gauche, c’est-à-dire , que l’unité d’un chiffre en vaut dix de celle du chiffre immédiatement à droite.

Réciproquement , la progression des unités étant décuple, nécessairement les signes sont au nombre de dix y compris zéro : en effet, de ce que l’unité du second chiffre en vaut dix du premier, il faut en conclure qu’on n’a pu représenter la collection dix par un seul chiffre , et de plus que cette collection est la plus petite de celles qu’on ne peut noter par un chiffre : donc , etc.

(7) Je suppose maintenant qu’on n’ait à sa disposition que les trois caractères o, x et 2, au moyeu desquels on doive écrire tous les nombi'es : arrivé à la collection trois qu’on ne peut représenter faute de signe , on en fera une unité; et pour dire qu’elle vaut trois unités de mesure, on écrira le caractère 1 avec un zéro à sa droite, pour figurer la première place, en sorte que le nombre trois scia représenté par

Si l’on remplace - le zéro par les chiffres 1 et 2 , les collections trois et un , trois et deux , ou quatre et cinq seront notées par

ii , 12.

De six unités on fera deux collections trois qu’on notera pi nsi :

et les collections sept et huit seront représentées par ■ 21 , 22:

la collectioiî neuf sera une nouvelle unité figurée par

Si dans cette phrase on fait occuper les deux premières places de droite, successivement par les huit premiers nombres, on aura

. 101, 102, 110, 111 , 112, 120, 121 , 122, qui expriment dix, onze, douze, treize , quatorze , quinze , seize, dix-sept. Le nombre dix-huit , c’est-à-dire, deux fois la collection neuf , sera

et les collections dix-neuf, vingt , vingt-un , vingt-deux , vingt-trois , vingt-quatre , vingt-cinq , vingt-six , seront traduites par

De vingt-sept unités on en fera une seule qu’on représentera par î suivi de trois zéros , en cette manière :

Si , en place du premier zéro , des deux premiers et des trois zéros , on fait passer tous les nombres depuis l 'unité j usqu’à vingt-six , nombres qu’on sait écrire , et qui occupent une , deux et trois places , on s’élèvera jusqu’à la collection cinquante-trois. On désignera cinquante-quatre , ou deux fois vingt-sept, par

et au moyen des vingt-six premiers nombres , on s’élèvera jusqu’à quatre-vingt inclusivement : arrivé à quatre-vingt-un , on fera une nouvelle convention , et ainsi de suite.

Lors donc qu’on emploie trois caractères , o , 1 , 2 , les unités suivent une progression triple , en allant de droite à gauche, c’est-à-dire que, dans la phrase numérique qui résulte de cette convention, l’unité d’un chiffre en vaut trois de celle du chiffre immédiatement à sa droite.

Réciproquement , de l’hypothèse d’une progression triple , on conclut trois caractères on signes: en effet, puisqu’on est obligé de fondre trois unités en une seule , c’est qu’on manque d’un caractère pour noter la collection trois unités; on n’a donc que trois signes y compris le zéi'o.