ÉVALUATION EN DÉCIMALES DE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE QUELCONQUE
248. Le plus souvent, quand iî s'agit d'extraire la racine carrée d'un nombre, il est nécessaire que cette racine soit exprimée en décimales, et la fraction qui exprime le degré d'approximation demandée est une partie décimale de l'unité. La règle générale du n" 2i.3 est alors susceptible d'un énoncé plus simple.
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'un nombre entier. La règle du n" 243 peut être formulée comme il suit :
Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier N à —
lO"
près, il Jaut écrire o-n zéros à la droite de N, extraire, à une unité près, la racine carrée du nombre ainsi formé, et séparer n chiffres décimaux à la droite de la racine obtenue.
Dans la pratique, on se dispense d'écrire des zéros à la droite du nombre donné, mais on opère comme si ces zéros étaient écrits : ainsi, après avoir extrait la racine carrée, à une unité près, du nombre donné, on place une virgule à la droite de celle racine, et l'on continue l'opération en écrivant deux zéros à la droite du dernier reste obtenu et des suivants jusqu'à ce qu'on ait obtenu à la racine tous les chiffres demandés. On forme ainsi successivement les valeurs approchées de la racine
carrée du nombre donne, a — près, a près,...; l opération
lO ' lOO
ne peut jamais se terminer, et la racine ne peut être une fraclion périodique, puisqu'elle ne peut s'exprimer exactement par une fraction ordinaire.
Prenons pour exemple le nombre 2; le calcul sera disposé comme il suit :
lOO
Par conséquent, i,4i42 et i,4i43 sont les valeurs de \,^i à moins de 0,0001, la première par défaut, la seconde par excès.
i5a LIVRE IV. - CHAPITRE I.
25iO. Considérons maintenant le cas d'un nombre fractionnaire. Supposons, par exemple, qu'on demande d'extraire la
racine carrée de — à o,ooi près. D'après les règles dos n"' 243
et 236, on obtiendra celte racine en divisant par looo la racine carrée, à une unité près, du plus grand entier contenu
dans le produit — X loooooo. Mais, pour avoir ce plus grand
entier, il suffit évidemment de réduire — en décimales (200),
en se bornant à calculer six chiffres décimaux, et de supprimer
ensuite la virgule. On a -^ = 3,142857...; la racine de 3142857
est 1772, à une unité près; donc la valeur de i / — est 1,772 ou 1,773, à o,ooi près.
On peut énoncer d'après cela la règle suivante : Pour extraire la racine carrée d'un nombre fractionnaire, à une unité près d'un ordre décimal déterminé, on évalue le nombre fractionnaire en décimales avec un nombre de chiffres décimaux double du nombre de ceux que l'on veut avoir à la racine ; on supprime la virgule, puis oti extrait, à une unité près, la racine carrée de l'entier obtenu, et l'on fait exprimer à cette racine des unités de l'ordre de la fraction qui marque le degré d' approximation demandé.
250. Il peut arriver que le nombre dont on veut extraire la racine carrée soit directement donné en décimales, et qu'il ne contienne pas, comme le prescrit la règle, deux fois autant de chiffres décimaux qu'on en veut avoir à la racine. Dans ce cas, on complète par des zéros les décimales manquantes. Veut on.
THÉORIE DE LA RACINE CARRÉE. ô3
par exemple, la racine carrée de 2,718 à 0,001 près? On appliquera la règle au nombre 2,718000.
La racine demandée est 1,648 à un millième près, par défaut.
DÉFINITION PRÉCISE DE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE QUI N'EST PAS CARRÉ PARFAIT.
231. Nous pouvons maintenant définir avec les détails nécessaires la racine carrée d'un nombre donné, lorsque cette racine est un nombre incommensurable (230).
Soit un nombre N, entier ou fractionnaire, qui ne soit pas carré parfait.
Extrayons la racine carrée de ce nombre, par défaut et par
excès, avec une approximation marquée par — (243), le nombre entier p croissant sans limite à partir de i. Nous obtiendrons ainsi deux suites illimitées de racines carrées par défaut et de racines carrées par excès du nombre donné N.
Nous allons démontrer que ces deux suites tendent respectivement vers une limite, qui leur est commune.
Représentons (2i3) par — et — — deux racines carrées con-
j . - /r H- I k' -\- i secutives par défaut. — et -— seront les racines carrées
^ nP nP+'
consécutives par excès qui leur correspondent, et nous aurons à la fois, d'après l'hypothèse,
\ nP+'
/?/' / ■ \ nP+' I ^' ^ \ ?iP-^' ) On en déduit, en chassant les dénominateurs et en multi-
pliant les trois premiers nombres par n',
( /. ' «' < N «'/'+' < ( /r + I ? n\ 1 /r'^<N/iV+=<(A-'-f-i)'.
i54 LIVRE IV. — CHAPmiE I.
On voit que k' esi le plus grand nombre entier dont le carré soii contenu dans Nn'^"^^ tandis que /»« est simplement un nombre dont le carré y est aussi contenu. On a, par conséquent,
kn<lf', ou /.<-.
II en résulte, en divisant par hp,
nP = nP-*-* '
ce qui prouve que les racines carrées par défaut ne peuvent pas décroître.
Les mêmes inégalités (i) montrent que /r'-+-i est le plus petit nombre entier dont le carré soit supérieur à N«'/'"^=, tandis que (/r-i- i] n est simplement un nombre dont le carré se trouve supérieur au même produit. On a, par conséquent,
f/i 4- i)n> //+ I, ou /f + I > — ■ — -•
Il en résulte, en divisant parnp,
nP - nP-^' '
ce qui prouve que les racines carrées par excès ne peuvent pas croître.
Mais si les racines par défaut ne peuvent pas décroître, elles croissent d'une manière générale en s'approchant d'une certaine limite L dont le carré ne peut surpasser le nombre donné N.
Si les racines par excès ne peuvent pas croître, elles décroissent d'une manière générale en s'approchant d'une certaine limite L' dont le carré ne peut être inférieur au nombre donné N.
Ces deux limites L et L' sont nécessairement égales entre
elles; car la difTérence entre deux racines carrées correspon-
danles, i une par défaut, 1 autre par excès, — et •> étant
' ' nP nP
— y cette différence diminue à mesure que/? augmente et de-
THÉORIE DE LA RACINE CARRÉE. i55
vient rigoureusement nulle, lorsque les deux suites prolongées indéfiniment atteignent ensemble leurs limites L elL'.
La limite commune trouvée ainsi ne dépend pas d'ailleurs de la fraction d'approximation adoptée.
En effet, admettons que, la fraction d'approximation étant
— » la limite commune des deux suites de racines carrées par
défaut et par excès soit ),; et que, la fraction d'approximation
étant -7-5 la limite des deux nouvelles suites soit }/. n P
1, limite de la première suite pour la première approximation supposée, a un carré qui ne peut surpasser N; X', limite de la deuxième suite pour la deuxième approximation supposée, a un carré qui ne peut être inférieur à N. Par conséquent, ). ne peut surpasser 1'.
D'autre part, 1, limite de la deuxième suite pour la première approximation, a un carré qui ne peut être inférieur à N; 1' , limite de la première suite pour la deuxième approximation, a un carré qui ne peut surpasser N. Par conséquent, 1 ne peut tomber au-dessous de X'.
La limite l ne pouvant être ni supérieure ni inférieure à la limite )/, ces deux limites sont égales.
Le même raisonnement prouve que /ecarr^f/^fce^/e //m ;7eco«stante, commune aux deux suites de racines carrées par défaut et par excès précédemment défi nies, e^f^o^a/aM/iomère^/own^N.
C'est donc cette limite, dont nous approcherons autant que nous voudrons sans jamais l'atteindre, que nous appellerons la racine carrée exacte \[^ du nombre entier ou fractionnaire N, qui n'est pas carré parfait.
Les nombres ne sont que la représentation des grandeurs. Si nous choisissons une unité de longueur et si nous supposons que les termes des deux suites que nous venons de considérer représentent des longueurs portées sur une même droite, à partir d'une origine fixe, les extrémités des longueurs mesurées par les termes de la première suite couvriront une certaine région de cette droite; les extrémités des longueurs mesurées par les termes de la seconde suite en couvriront une autre. D'après ce qui précède, il n'existera entre ces deux régions aucun empiétement ni aucun intervalle, mais un
i56 LIVRE IV. — CHAPITRE I.
simple point de séparai! on. La dislance de ce point à l'origine fixe
sera la longueur incommensurable mesurée exaciement par v'N.
MÉTHODE ABRÉGÉE POUR L'EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE ENTIER.
252. Tous les cas que présente l'extraction des racines carrées se ramènent, comme on l'a vu, à l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier à une unité près. Lorsqu'on a besoin d'un grand nombre de chiffres à la racine, on peut abréger l'opération en faisant usage delà proposition suivante:
Soit N un nombre entier dont la racine carrée ail à sa partie entière un nombre de chiffres égal ou supérieur à sn -+- 1. Si l'on a calculé la valeur a de y/N à une unité près de l'ordre n, par défaut, de manière qu'il ne reste plus à trouver que n chiffres, on pourra obtenir ceux-ci par une seule division. Effectivement , si l'on pose N — rt==zR, et que l'on désigne par q et r le quotient et le reste de la division de R par la, la valeur de \/N sera a -\- q à une unité près, par défaut ou par excès. Cette valeur sera approchée par défaut si r est supérieur à ç', elle sera approchée par excès si r est inférieur à q^; si l'on a r= q'', a -\- q sera la valeur exacte de ^N .
X étant un entier quelconque, le carré de a -h x est
le nombre N est d'ailleurs égal à «' + R ou à a^ + laq 4- r-, donc, s\ a-\- X est inférieur à y/N , on aura
lax H- x'^ <i 2aq ■+• r ou
ia ^ la
Si, au contraire, a + ^ est supérieur à /N , on aura
' -ia ' ■?.a
L'inégalité (2) est satisfaite quand on attribue à x une valeur
THÉORIE DE LA RACINE CARRÉE. i57
supérieure à q, puisque — est inférieur à i ; donc les entiers
supérieurs à a -f- ç surpassent V^N .
Cela posé, si l'on a i\> q\ il est évident que l'inégalité (i) sera satisfaite en prenant .r = g; a -h q est alors inférieur à y/N , et ce nombre exprime la valeur de N à une unité près, par défaut.
Si l'on a r=q-, les deux membres de l'inégalité (i) ou de l'inégalité (2) deviennent égaux entre eux quand on prend X = q ; et il est évident que, dans ce cas, a -h q esl la valeur
exacte de \/N .
Si l'on a r<iq-, l'inégalité (2) sera satisfaite par x = q, et,
dans ce cas, a -\- q est supérieur à N . Donnons à se la valeur
telle que a -+- x soit l'entier immédiatement supérieur à y/iN ;
la fraction — - sera inférieure à i, car a a, par hypothèse, 7. a
2/1 + I chiffres au moins, tandis que x est au plus égal à 10" et
— à - 10'"; donc celte valeur de a; ne peut être inférieure à q, 2 ?.
car autrement elle ne satisferait pas à l'inégalité (2). Cette inégalité étant d'ailleurs satisfaite pour x=zq, il s'ensuit que a+ 7 exprime la valeur de y/N à une unité près, par excès. La valeur de v'N à une unité près, par défaut, est donc
a-\- q ou a -h q — i,
suivant que l'on a
r^ q^ ou r<iq\
253. Supposons que l'on demande l'excès du nombre donné N sur le plus grand carré entier {a 4- qY ou {a -^ q — i)' qui y est contenu.
.Soit r> ç'; on a
N = a- 4- 2a^ + r, {a -i- q)^ = a- -\- laq -h q^;
donc
N — (a-f- qy= r— q\
Soit en second lieu r<Cq'; on aura, comme précédemment,
N = (rt-i-9)'H- r — q';
i58 LIVRE IV. - ClIAP. I. - THÉORIE DE LA RACLNE CARHKR. d'ailleurs le carré de a 4- ^ esl égal à
[a -h q — ly -h 2{a -h q — i) + 1 ; on a donc
N — (rt + 7 — 0'= 2« 4- /• — ((/ — î)\
Dans la pratique, lorsqu'on a besoin de calculer cet excès de N sur le plus grand carré entier qui y est contenu, la méthode abrégée ne présente aucun avantage sur la méthode vulgaire.
254. Application. — Supposons qu'on demande la racine carrée de 7 avec huit décimales exactes.
On déterminera les quatre premières décimales par la méthode vulgaire :
3o4oo
Les quatre derniers chiffres pourront ensuite être obtenus, conformément au théorème précédent, en divisant le reste obtenu 27i5i par le double 52914 du nombre formé par les chiffres écrits à la racine :
Comme le reste 8266 multiplié par loooo est supérieur au carré de 5i3i, on voit que la valeur de v/7 est 2,64575i3i à une unité près du huitième ordre décimal, par défaut.
Dans cet exemple, on a
2rt 5,2914
« = 2,6457X10», R =27151 Xio',
27 iSioooo 52914
