Les cubes des puissances de lo, savoir

10, 100, 1000, lOOOO, ...

sont respectivement

1000, loooooo, looooooooo, I 000000000000.

Il en résulte que la racine cubique d'un nombre plus petit que 1000 n'a qu'un chiffre à sa partie entière, que celle d'un nombre compris entre 1000 et 1 000000 a deux chiffres à sa partie entière,

EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE D'UN NOMBRE ENTIER OU FRACTIONNAIRE, A L'UNITÉ PRÈS.

261. Nous commencerons par ramener le second cas au premier, en démontrant le théorème suivant :

La racine cubique, à moins d'une unité, d'un nombre fractionnaire N, est égale à la racine cubique, à moins d'une unité, de la partie entière de N.

S. et de C. — Arichm. I r

i(W. LIVRE IV. - CIIAPITIΠII.

Désignons par a la partie entière de ^/N. Celte racine étant comprise entre a et rt -m, N est compris entre a* et (a 4- 1)»; par suite, «* est le plus grand cube entier contenu dans N. La partie entière de ce nombre est donc au moins égale à a* et, co^mme elle est moindre que (a-i-i)', la racine cubique à l'unité près de cette partie entière est aussi égale à a.

Dans ce qui suit, nous pourrons donc supposer que N est entier. Nous aurons alors deux cas à distinguer.

262. Si N est < looo, J/N est <io (260). On peut alors résoudre la question proposée par la simple inspection de la Table des cubes des neuf premiers nombres (2o9).

Soit N = 389. Ce nombre n'est pas un cube parfait, et l'on trouve qu'il est compris entre les deux cubes consécutifs 343 et 5i2, dont les racines respectives sont 7 et 8. y/N est donc, à moins d'une unité, 7 par défaut et 8 par excès.

L'excès du nombre 389 sur le plus grand cube entier 343 qu'il contient est appelé reste de l'opération.

Si N est > 1000, v^N est > 10 (260) et renferme des dizaines et des unités. La recherche de la racine cubique comprend alors deux parties. On détermine d'abord exactement le nombre des dizaines de la racine et, ensuite, un chiffre égal ou supérieur à celui de ses unités. C'est ce que nous allons expliquer sur un exemple.

263. Soit le nombre 43725658; on veut extraire la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans ce nombre.

Le nombre donné étant plus grand que 1000, la racine demandée est supérieure à 10. On peut donc supposer cette racine décomposée en dizaines et en unités et, par conséquent, son cube se composera (257) du cube des dizaines, de trois fois le produit du carré des dizaines par les unités, do trois fois le produit des dizaines par le carré des unités, et du cube des unités. Or le cube du nombre des dizaines de la racine est nécessairement contenu dans le nombre 43725 des mille du nombre proposé, et ce dernier nombre peut d'ailleurs renfermer quelques mille provenant des autres parties du cube de la racine et du reste (262); donc, en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 43725, on aura le nombre des dizaines de la racine cherchée ou un

THÉORIE DE LA RACINE CUBIQUE. i65

nombre trop fort. Il est aisé de voir que ce nombre ne peut être trop fort. En effet, supposons que 35 soit la racine du plus grand cube entier contenu dans ^^•jj.S ; le cube de 35 pouvant se retrancher de 43725, le cube de 35o pourra évidemment se retrancher de 43725000 et, à plus forte raison, de 43725658.

On voit par là que le nombre des dizaines de la racine cubique d'un entier N ]> 1000 est toujours égal à la racine du plus grand cube entier contenu dans le nombre des mille de N.

Nous sommes ainsi conduits à chercher d'abord la racine du plus grand cube entier contenu dans 43725.

Le nombre 4^725 étant lui-même plus grand que 1000, la racine qu'il faut trouver est supérieure à 10; un raisonnement identique au précédent montre que le nombre des dizaines de cette racine est égal à la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le nombre 43 des mille de 43725. Il faut donc chercher d'abord la racine du plus grand cube entier contenu dans 43.

Le nombre 43 étant plus petit que 1000, la racine qu'il faut trouver n'a qu'un seul chiffre. On reconnaît, par l'inspeclion de la Table des cubes du n° 259, que cette racine est 3.

La racine du plus grand cube contenu dans 43725 renferme donc 3 dizaines; nous allons chercher le chiffre des unités de cette racine. L'excès du nombre 43 sur le cube 27 de 3 étant 16, il est évident que, si l'on retranche de 43725 le cube de 3 dizaines, c'est-à-dire 27 mille, le reste contiendra 16 mille et 725 unités; il sera donc 16725. Si l'on divise alors le nombre 167 des centaines du reste 16725 par trois fois le carré du nombre des dizaines de la racine, c'est-à-dire par 3 x 9 ou 27, le quotient obtenu 6 sera égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine. En effet, le nombre 43725 contient : 1° le cube des dizaines de la racine; 2° trois fois le produit du carré des dizaines par les unités; 3° trois fois le produit des dizaines par le carré des unités; 4° le cube des unités; 5° le reste de l'opération. Par suite, si l'on retranche de 43725 la première de ces cinq parties, le reste obtenu 16725 contiendra encore les quatre autres parties ; le nombre 167 des centaines de ce reste est donc au moins égal au produit que l'on formerait en multipliant le triple 27 du carré du nombre des dizaines de la racine demandée par le chiffre inconnu des unités de celle

iG4 LIVRE IV. - CIIAIMTHE II.

racine. Par conséquent, le quolieni 6, que l'on trouve en divisant 167 par 27, est le chiffre des unili^'s de la racine ou un chiffre trop fort.

On voit par là que si l'on retranche d'an entier 'iS le cube des dizaines de sa racine cubique, et si l'on divise le nombre des centaines du reste par trois fois le carré du nombre des dizaines de la racine, le quotient obtenu est égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine.

Pour reconnaître si le chiffre des unités de la racine est effectivement 6, il faut former le cube de 36 et voir si ce cube peut être retranché de 42725. En élevant 36 au cube, on trouve pour résultat 46656, nombre supérieur à 43725; on en conclut que le chiffre 6 est trop fort. Il faut alors essayer de la même manière le chiffre 5. En élevant 35 au cube, on trouve pour résultat 42875, nombre inférieur à 43725. On en conclut que 35 est la racine cherchée.

Revenons maintenant au nombre proposé 4^725658. Sa racine cubique contient 35 dizaines; nous allons chercher le chiffre des unités de cette racine. L'excès de 4372.5 sur 42875, cube de 35, étant 85o, il est évident que, si l'on retranche de 43725658 le cube de 35 dizaines, c'est-à-dire 42875 mille, le reste contiendra 85o mille et 658 unités, il sera donc 85o658. En répétant le raisonnement précédent, on prouvera que, si l'on divise le nombre 85o6 des centaines de ce reste par trois fois le carré du nombre des dizaines de la racine, c'est-à-dire par 3 X 35^ ou 3675, le quotient obtenu 2 doit être égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine; donc la racine demandée est égale ou inférieure à 352. Pour reconnaître si le chiffre des unités de la racine est effectivement 2, il faut former le cube de 352 et voir si ce cube peut être soustrait de 43725658. En élevant 352 au cube, on trouve pour résultat 43614208, nombre inférieur à 437^5658; on en conclut que 352 est effectivement la racine du plus grand cube entier contenu dans le nombre donné. L'excès du nombre donné 43725658 sur le cube 43614208 de 352 est iii45o; c'est le reste de l'opération.

Voici le détail des calculs :

io5

io56