Ce qui précède conduit à la règle suivante

Pour extraire la racine cubique d'un nombre entier, on le partage en tranches de trois chiffres ù partir de la droite. Le nombre de ces tranches, dont la première à gauche peut n'avoir qu'un ou deux chiffres, est ég-al au nombre des chiffres de la racine.

On extrait la racine du plus grand cube entier contenu dans le nombre formé par la première tranche à gauche; on a ainsi le premier chiffre de la racine.

On retranche le cube de ce chiffre du nombre exprimé par la première tranche à gauche, et Von abaisse le premier chiffre de la deuxième tranche à la droite du reste. On divise le nombre ainsi obtenu par trois fois le carré du premier chiffre de la racine. Le quotient entier de cette division est égal ou supérieur au deuxième chiffre de la racine. Pour essayer ce chiffre, on l'écrit à droite du premier chiffre de la racine^ et on élève le résultat au cube. Si ce cube peut être retranché du nombre formé par les deux premières tranches, le chiffre essayé est exact ; dans le cas contraire, on essaye de la même manière le chiffre inférieur d'une unité, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait trouvé le chiffre exact.

Le deuxième chiffre de la racine étant trouvé et le cube du nombre formé par les deux premiers chiffres de cette racine ayant été soustrait du nombre formé par les deux premières tranches, on abaisse, à la droite du reste, le premier chiffre de la troisième tranche. On divise le nombre ainsi obtenu par trois fois le carré du nombre exprimé par les deux premiers chiffres

i6(> LIVRE IV. — CHAPITRE II.

de la racine. Le quotient entier de cette division est égal ou supérieur au troisième chiffre de la racine. Pour essayer ce chiffre, on l'écrit à droite du nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine, et on élève le résultat au cube. Si ce cube peut être retranché du nombre formé par les trois premières tranches, le chiffre essayé est exact; dans le cas contraire, on essaye de la même manière le chiffre inférieur d'une unité.

On continue ainsi jusqu'à ce que toutes les tranches aient été employées. L'excès du nombre proposé sur le cube de la racine trouvée est le reste de l'opération (*).

11 peut arriver que, dans l'une des divisions dont il vient d'êlre question, le quotient entier soit zéro; dans ce cas, le chiffre correspondant de la racine est zéro.

•265. Le reste auquel conduit l'extraction, à moins d'une unité, de la racine cubique d'un entier est moindre que trois fois le carré de la racine, plus trois fois cette racine, plus un.

Soient N le nombre donné, a sa racine et R le reste de

l'opération. On a

N = rt» -4- R.

Si l'on avait alors R = ou >» 3rt= + 3a -i- i, on aurait aussi N = ou >> a^ -t- 3a' H- 3a -i- i, c'est-à-dire N = ou >■(« -t- i)». Or, c'est ce qui est innpossible, puisque, par hypothèse, a' est le plus grand cube entier contenu dans N.

11 résulte de là que, dans l'exiraciion de la rrcine cubique d'un entier, chacun des restes que l'on obtient successivement est au plus égal à trois fois le carré du nombre formé par les chiffres déjà trouvés, plus trois fois ce même nombre.

EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE D'UN NOMBRE ENTIER OU FRACTIONNAIRE, AVEC UNE APPROXIMATION DONNÉE.

266. Soit un nombre N, entier ou fractionnaire, dont on veut extraire la racine cubique à moins de -• Il faut (2i3)

(*) Nous ne croyons pas qu'il soit utile d'entrer dans aucun détail relatircment aux légères simplifications qu'on pourrait apporter à cette régla

trouver un eiiiier x lel, qu'on ait

n ' Il

ou, en élevant au cube et multipliant ensuite par /i%

j?^ élant le plus grand cube entier contenu dans le produit Nn', ^ est la racine cubique de ce produit à moins d'une unité par défaut. On arrive donc à la règle suivante, analogue à celle du n° 24.3 :

Pour extraire, à moins de — j la racine cubique d'un nombre

N, entier ou fractionnaire, il faut extraire, à moins d'une unité, la racine cubique du produit N/i^ et diviser le résultat par n.