PROPRIÉTÉS DES PROPORTIONS

33-V. I. Dans tonte proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Soit la proportion

Réduisons les deux rapports au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chacun d'eux par le dénominateur de l'autre; nous aurons

ad hc

Vd'^'hll'

Ces deux rapports égaux ayant même dénominateur, leurs numérateurs sont égaux, et l'on a

ad = bc.

Celte proposition fondamentale permet de trouver un terme d'une proportion quand on connaît les trois autres termes. Par exemple, si le terme inconnu est un extrême, on obtient sa valeur en formant le produit des moyens et en divisant ce produit par l'extrême connu.

335. II. Réciproquement, si quatre nombres écrits sur une même ligne sont tels, que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, ces quatre nombres sont en proportion.

Soient les quatre nombres

et supposons qu'on ail

ad := bc.

Divisons par bd les deux membres de celle égalité; nous

aurons

ad bc

hl^M'

Si nous supprimons alors le facteur d commun aux deux termes du premier rapport, et le facteur b commun aux deux termes du second rapport, il vient

33G. Il résulte de ce qu'on vient de démontrer que l'on peut faire subir à une proportion toutes les transformations qui

n'allèrent pas l'égalilc enlre le produit des extrêmes et celui des moyens.

En particulier, on peut dans une proportion : i" échanger les moyens l'un avec l'autre, ou les extrêmes l'un avec l'autre; 2" mettre les moyens à la place des extrêmes, et réciproquement. Par exemple, la proportion qui a lieu entre quatre nombres a, b, c, d, tels que ad = bc, peut être écrite de huit manières différentes.

On voit aussi que, dans une proportion, on peut multiplier ou diviser par un même nombre un extrême et un moyen.

337. 111. Quand deux proportions ont un rapport commun, les deux autres rapports forment une proportion.

Soient les deux proportions

on en déduit immédiatement

338. 11 en résulte que, lorsque deux proportions ont les mêmes antécédents ou les mêmes conséquents, leurs conséquents ou leurs antécédents forment une proportion.

Soient les deux proportions

qui ont les mêmes antécédents. Si l'on échange les moyens dans ces deux proportions, il vient

- = -, et - = T.»

d'où l'on conclut (337)

339. IV. Dans toute proportion, la somme ou la différence des antécédents est à la somme on à la différence des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.

Soit la proporlion

On en tire immédiatement (330)

Il en résulte

ou, en changeant les moyens de place,

c'est-à-dire que, dans toute proportion, la somme des antécédents est à leur différence comme la somme des conséquents est à leur différence.

340. V. Daîis toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers comme le premier terme est au troisième ou le deuxième au quatrième.

Soit la proportion

Dans celte proportion, changeons les moyens de place, et appliquons à la nouvelle proporlion

le théorème du n° 339. Il viendra

-, ou

Il en résulte

a -If b a — b

c -h d c — d ou, en échangeant les moyens,

%%i LIVRE V. - CHAPITRE 111.

c'esl-à-dire que, dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deux derniers ternies est à leur différence.

3il. VI. Lorsqu'on multiplie plusieurs proportions terme à terme, les quatre produits obtenus forment une nouvelle proportion.

Soient les proportions

J)^7r V~7'' V'^TF''

Si nous multiplions les trois égalités membre à membre, il

vient

c'est-à-dire (329)

a a' a" ce' c"

WV' " ddrd/''

34-2. VII. Lorsqu'on divise deux proportions terme à terme, les quatre quotients obtenus forment une nouvelle proportion.

Soient les deux proportions

l'' cV Vd''

Si l'on divise les deux égalités membre à membre, il vient

c'esi-à-dire (329)

ab' cd'

ba' ~ de' Ce dernier résultat peut s'écrire

3i3. VIII. Si quatre nombres sont en proportion, leurs puissances ou leurs racines de même degré sont aussi en proportion.

Soil la proporiion

En élevant les deux membres de celte égalité à la puissance n, on trouve (175)

En extrayant la racine de degré m des deux membres de celle égalité, il vient également

En effel, la puissance m""'* de ~» comme celle de y^'

est égale à t (175); ces deux expressions sont donc identiques.