LIVRE II. — PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES NOMBRES. U

30. Si deux nombres sont premiers entre eux, il en est de même de leur somme ou de leur différence comporée à leur produit.

40. Les nombres premiers, autres que 2 et 3, étant tous des multiples de 6 augmentés de i ou diminués de i, démontrer qjiil y en a une infinité de la deuxième espèce.

On fera voir qu'étant donné un nombre premier p égal à un multiple de 6 diminué de i, si l'on désigne par P le produit de tous les nombres premiers 1.2.3... jusqu'à /^, la différence P — i a toujours un diviseur premier supérieur à /->, et qui est un multiple de 6 diminué de i.

41. Les nombres prcmieis autres que 2 étant des multiples de 4 augmentés de I ou diminués de 1, démontrer qu'il y en a une infinité de la deuxième espèce.

42. Si a et b sont deux nombres non divisibles par 3, a" — l'^ est divisible par 9.

43. Démontrer que, si n désigne un nombre quelconque, le produit « (« +1) (2 rt-i-i) est divisible par 6.

44. Démontrer que, si ^ et 6 désignent deux nombres premiers entre eux, a-h b ç{ tr -1- h^ —ah ne peuvent avoir d'autre commun diviseur que 3.

4o. Démontrer que, si les diviseurs d'un nombre N sont écrits les uns à la suite des autres, dans l'ordre de leur grandeur, le produit de deux diviseurs à égales distances des extrêmes est égal à N.

46. Trouver !e [)lus petit des nombres qui ont iSo diviseurs.

47. De combien de manières différentes peut-on décomposer un nombrcN en deux fadeurs premiers entre eux? Démontrer que ce nombre do manières est égal à 2" — \,n étant le nombre des facteurs premiers distincts deN.

48. Soient c/, Z), a\ U quatre nombres, p un cinquième nombre premier avec chacun des quatre premiers. On demande de prouver que, si les différences nb — a' h' et (7 — a' sont divisibles par />>, la différence b — b' est aussi divisible par p.

49. Soient A, B, G trois nombres, D le plus grand commun diviseur de A et B, D' celui de A et C, D" celui de B et C, enfin D'" le plus grand commun disiseur des trois nombres A, B, C. Démontrer que le pluspelit commun multiple de- nombres A, B, C est égal au quotient ABCD'": D D'D".

50. Soient A, B, C, D quatre nombres, P leur produit, P' le produit des six [iks grands communs civiseurs de ces nombres pris deux à deux, P' le produit des quatre plus grands communs diviseurs de ces nombres pris trois à trois, enfin P'" le plus grand commun diviseur des nombres A, B, C, D. Démontrer que le plus petit commun multiple des quatre nonibics A, B, C, D est égal au quotient PP* : P'P'".

S. et de C. — Arlthin. 19

QUESTIONS PROPOSÉES