LIVRE IL

LES PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES NOMBRES

19. Démontrer que. si un nombre est divisible par 4, la somme du chiffre des unités et du double du cliiffre des dizaines est divisible par 4. et réciproquement.

20. Démontrer que, si un nombre est divisible par 8, la somme du chiffre des unités, du double du chiffre des dizaines et du quadruple du chiffre des centaines est divisible par 8, et réciproquement.

21. Démontrer que, si un nombre est divisible par 6, la somme du chiffre des unités et du quadruple de chacun des autres est divisible par 6, et réciproquement.

22 Démontrer que les conditions de divisibilité des nombres par 999 et 1001 sont analogues aux conditions de divisibilité par 9 et 11, et qu'elles n'en diffèrent qu'en ce que les tranches de trois chiffres qui expriment les diverses unités principales jouent ici le même rôle que les simples chiffres à Tégard des diviseurs 9 et 11. Déduire de cette considération les conditions de divisibilité par 3;, diviseur de 999, et par 7 et i3, diviseurs de ioof.

23. D.'^montrer que, si l'erreur commise dans la multiplication de deux nombres provient de ce que le premier chiffre à droite de l'un des produits partiels n'a pas été écrit, comme il convient, sous le deuxième chiffre à droite du produit partiel précédent, la preuve par 9 ne pourra pas indiquer l'erreur. Examiner si la preuve par 11 peut toujours mettre l'erreur en évidence.

2i. Démontrer que tout nombre premier supérieur à 3 est un multiple de 6 augmenté de i ou diminué de i.

2o. Démontrer que le produit de trois nombres consécutifs est divisible, par 6.

2G. Démontrer que le produit de cinq nombres consécutifs est divisible par 120.

27. Quelle est la plus haute puissance d'un nombre premier toi que 7, qui divise le produit des 1000 premiers nombres'?

28. Démontrer que le plus grand commun diviseur de deux nombres

a«8 QUESTIONS PROPOSEES.

ne change pos quand on divise l'un d'eux par un de ses diviseurs, pourvu que ce diviseur soit premier avec Taulre nombre.

29. Démoniror que, pour avoir le plus grand commim diviseur de trois nombres A, B,C, il suffit de cherclior le plus grand ccn;n.un div"seur r/ de A et de C, puis le plus grand loninuin divi.-eur <-/' de B et de C, puis enfin le plus grand commun diviseur des nombres d et d' .

30. Démontrer que le plus grand commun diviseur de deux nombres A et B est égal au nombre des multiples de B contenus dans la suite

A, Ax 2, Ax3,..., A X B.

31. Démontrer que, si l'on divise le plus petit commun multiple de plusieurs nombres par chacun de ces nombres, les quotients que l'on obtient sont premiers entre eux.

3:2. Démontrer que, pour avoir le plus petit commun multiple de trois nombres A, B, C, il suffit de chercher le plus petit commun multiple M de A et de C, puis le plus petit commun multiple M' de B et C, puis enfin le plus petit commun multiple des nombres ^I et M'.

33. Soient N un nombre formé de m chiffres g et A un nombre formé de /// chiffres ou d'un moins grand nombre de chiffres. (Si cependant A a moins de m chiffres, il faudra écrire un ou plusieurs zéros à sa gauche pour compléter le nombre m.) Soient A' le nombre obtenu en enlevant le premier chiffre à gauche de A pour le transporter à sa droite, A" le nombre obtenu en enlevant de môme le premier chiffre à gauche de A' pour l'écrire à sa droite, et ainsi de suite. Il s'agit de démontrer que tout commun diviseur des nombres N et A divise aussi les nombres A', A'

Par exemple 7, qui divise 999099 et 5-479475 divise aussi les cinq nombres 479472, 7947'^4, 947^47, 47^479) 724794-

34. Démontrer que le carré d'un nombre premier, autre que 2 et 3, est égal à un multiple de 24 augmenté d'une unité.

3o. Dans les divisions successives qui conduisent au plus grand commun diviseur de deux nombres donnés, on peut prendre indifféremment les quotients par défaut ou par excès. On peut donc faiie en sorte que chaque reste soit moindre que la moitié du diviseur coriespondant. Quelle simplification apporte-t-on ainsi à ro[iération?

30. Trouver deux nombres, connaissant leur plus grand commun diviseur et leur plus petit commun multiple. — Discussion.

3". Trois événements se reproduisent iiériodiquement, le premier tous les i5 jours, le second tous les 11 jours, le troisième tous les 36 jouis. Ces trois événements ont lieu ensemble un jeudi; au bout de combien do jours se reproduiront-ils de même ensemble un jeudi?

38. Si deux nombres sont premiers entre eux. le plus grand commun diviseur de leur somn.e et de leur différeni e est i ou 2.