LIVRE IV

LES NOxMBRES INCOMMENSURABLES.

77. Démontrer qu'un nombre entier ne peut être un carré parfait si, le cliifTre des unités étant 6, le cliitTre des dizaines est pair; ou si, le chiffre des unités étant i, 4 ou 9, le chiiTre des dizaines est impair.

78. Si l'on écrit, les uns à la suite des autres, les chiffres qui représentent les dizaines des carrés entiers successifs terminés par le même chiffre (i, 4, 6 ou 9), la suite que l'on obtient est périodique, la période a 10 chiffres et, de plus, les deux chiffres de la période à égales distances do ses chiffres e-ttrèmes sont égaux.

79. Démontrer que le carré d'un nombre impair est un multiple de 8, augmenté de i.

80. Démon irer qu'un nombre impair qui est la somme de deux carrés est un multiple de 4, augmenté de i.

8L Démontrer qu'un nombre pair qui est la somme de deux carrés est un multiple de 8, augmenté de 2 ou de 4.

82. Démontrer (|ue la somme des n premiers nombres impairs est égale à «'.

83. Si deux ou plusieurs nombres sont f^^rmés chacun par l'addition de deux. carrés, leur produit est aussi la somme de deux carrés.

84. Si un nombre pair est la somme de deux carrés, sa moitié est aussi la somme de deux carrés.

8"). Si un nombre entier divisible par 5 est la somme de deux carrés, le cinquième de ce nombre est aussi la somme de deux carrés.

86. Si un carré entier est égal à la somme de deux autres (aS = 16-1-9), l'un des trois carrés est divisible par 5.

87. Qu^i'î ori a déterminé un ou plusieurs chiffres de la racine carrée d'un entier, et qu'on veut trouver le chiffre suivant, on effectue une division dont le quotient est le chiffre cherché ou un chiffre trop fort. On demande de démontrer que, si le nombre déjà écrit â la racine n'est pas inférieur à 5, le quotient considéré, s'il est plus grand que le chiffre cherché, ne peut le surpasser que d'une unité.

a94 QUESTIONS PROPOSÉES.

88. Soient n la racine carrée à une unili'i près d'un nombre entier N, et R le reite fouini par l'opération; on duinande de démontrer que : i" la

somme a h est supérieure à \/'S. ; 2° le carré de « -+

rt X 2 a X j.

passe d'une unité au plus le nombre N ; 3° si l'on prend celte somme

a H pour valeur de \fs , l'erreur relative est moindre que •

89. Démontrer que si, à la racine carrée d'un nombre égal à i augmenté d'une fraction moindre que i, on substitue l'unité auj^mentée de la moitié de la même fraction, l'erreur relative est inférieure à la huitième partie du carré de la fraction.

90. Le prix d'un diamant étant proportionnel au carré de son poids, démontrer qu'en brisant le diamant en deux morceaux on diminue sa valeur, et que la dépréciation est maximum quand les deux morceaux ont des poids égaux. Étendre cette proposition au cas où le diamant est séparé en un nombre quelconque de morceaux.

91. Démontrer que, si le reste de la division d'un ncmbre entier par 3 est •!, 3, 4, 5, G ou 7, ce nombre n'est pas un cube parfait.

92. Démontrer qu'un nombre entier ne peut être un cube parfait : 1° si, le chiffre des unités étant 2 ou 6, le chiffre des dizaines est pair; •1° si, le chiffre des unités étant 4 ou 8, le chiffre des dizaines est impair; 3° si, le chiffre des unités étant 5, le chiffre des dizaines n'est ni 2 ni 7.

93. Comment peut-on reconnaître si un nombre entier donné est la différence de deux cubes consécutifs, et, dans le cas où il en est ainsi, comment peut-on trouver ces deux cubes?

94. Quand on a déterminé un ou plusieurs chiffres de la racine cubique d'un entier, et qu'on veut trouver le chiffre suivant, on effectue une divi-^ion dont le quotient est le chiffre cherché ou un chiffre trop fort. On demande de démontrer que, si le nombre déjà écrit à la racine n'est pas inférieur à 10, le quotient considéré, s'il est plus grand que le chiffre cherché, ne peut le surpasser que d'une unité.

9o. Les deux nombres 4897,85 et 235,786 sont l'un et l'autre affectés d'une erreur qui peut aller jusqu'à 2 unités de l'ordre du dernier chiffre, en plus ou en moins. On demande de trouver le produit de ces deux nombres, en se bornant à calculer les chiffres sur l'exactitude desquels on peut compter.

96. Les deux nombres 5784,29 et 732,268 sont l'un et l'autre affectés d'une erreur qui peut aller jusqu'à 3 unités de Tordie du dernier chiffre, en plus ou en moins. On demande de trouver le quotient de ces deux nombres, en se bornant à calculer les chiffres sur l'exactitude desquels on peut compter.