Démontrer que chacune des deux proportions

A A' A w -+- Cfi X' /Il -h C'n C C ^./j — Cq \' jj — C'y

est une conséquence de l'autre ( ///, /?, p, q désignent des nombres quelconques).

118. Démontrer qu?, si les quatre termes d'une proportion sont écrits par ordre de grandeur, la somme des extrêmes est plus grande que la somme des moyens. — En déduire que la moj'enne proportionnelle de deux nombres est moindre que leur moyenne arithmétique.

1 19. Démontrer que, dans une suite de rapports égaux, la racine carrée de la somme des carrés des antécédents est à la racine carrée de la somme des carrés des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.

120. Dé;r.ontrer que les quatre sommes obtenues en ajoutant deux projiortions terme à terme ne forment une nouvelle proportion que dans les deux cas suivants : 1° si les rapports de la première proportion sont égaux à ceux de la seconde ; 'î" si le rapport d-^s antécédents ou des conséquents de la première est égal au rapport des termes correspondants de la seconde proportion.

121. Deux arcs d'une même circonférence comprennent respectivement 38°4i'3", 4 et 32*' i5' 12", 8 : quel est leur rapport?

1-22. Si trois nombres <7, b, r, rangés par ordre de grandeur, sont tels iju'on ait

ils forment une proportion luirinoniquc ; le nombre b est alors la moyenne harmonique entre n et cqui sont les deux cxtrénœs.

Cela posé, démontrer que, dans toute propo;tion harmonique, l'inverse de la moyenne harmonique est égale à la demi-somme des inverses des deux extrêmes,

•123. Démontrer que, dans la suite indéfinie 1, -, -1 -i - > • • • , trois

termes consécutifs quelconques forment une proportion harmonique.

■12i. La valeur actuelle d un billet est la somme qu'on reçoit en le faisant escompter avant son échéance. Les intérêts produits par cette somme jusqu'à l'échéance indiquée constituent rc'iCfw/Z-'/t' en de l/:ns ou billet.

2vj8 QUESTIONS PUOPÛSEES.

Cela posé, on demande de trouver les deux formules qui déterminent la valeur actuelle et l'escompte en dedans d'un billet de niontant <7, en désignant par /• le taux de l'intérêt, et par/ le nombre de jours qui restent à courir juscpi'à l'écliéance. — Chercher la relation qui lie l'escompte commercial ou escompte en dehors et l'escompte en dedans.

123. Le nombre des vibrations transversales qu'une corde tendue exécute dans l'unité de temps est proportionnel à la racine carrée du poids qui la tend, et inversement proportionnel à sa longueur, à son diamètre, ainsi qu'à la racine carrée de sa densité. Cela posé, une corde de cuivre ayant o*", 3G3 de longueur, o"-,ooi5 de diamètre et tendue par un poids de i3''s,35, exécute 1999 vibrations en uneseconde : on demande combien de vibrations exécutera une corde de ]ilatine de o",45i de longueui-, o"',ooo25 de diamètre, tendue par un poids de 4"^, 49- La densité du cuivre est 8,8 et celle du platine 21, 5.

12G. 100 parties de l'alliage des caractères d'imprimerie contiennent 80 parties de plomb et 20 parties d'antimoine : on demande combien il entre de plomb et d'antimoine dans 6^5,37 de cet alliage.

127. On a 8''s,-25o d'argenterie au titre de 0,950: on demande combien de cuivre il faut ajouter pour obtenir unalliagc propre à faire de la monnaie.

128. Une personne a souscrit trois biilels, l'un de Goo francs payable dans 4 mois, le deuxième de i5oo francs payable dans 8 mois, le troisième de 700 francs payable dans 10 mois. Elle désire remplacer ces trois billets par un billet unique à l'échéance d'un an. Quel en sera le montant, le taux de l'mtérêt étant 4,5 pour 100 par an?

129. Un billet payable dans 58 jours a été escompté au taux de 5 pour 100 par an et a produit 1481'^'', 25. On demande quelle était sa valeur nominale.

130. Partager un nombre en plusieurs parties telles, que le rapport de chaque partie à la précédente soit égal à un nombre donné. On devra ramener la question à celle du partage d'un nombre en parties proportionnelles à des nombres donnés, en faisant usage de la solution de la question 60.

131. Trois joueurs conviennent que le perdant doublera l'argent des deux autres. Chaque joueur ayant perdu une partie dans l'ordre indiqué par le rang des joueurs, il reste 24 frunes au premier joueur, 28 francs au deuxième joueur et 14 francs au troisième. Combien chaque joueur avait-il d'argent en se mettant au jeu?

APPEKDICE.