Démontrer que, si l'on a

et que les nombres <7,, a.^,. . .. a^, soient proportionnels aux nombres A,, fcj, . . ., Z»,,, on a aussi

V'A X 13 = v'a, X ^, -H y/'^/j x 0.^ — . . . — sja,^ x b,^.

133. Démontrer que '""^"""^A x B x C est une moyenne entre les trois nombres "^A, Ç^B, ^C, quels que soient les indices /«, «, p.

d34. Démontrer que si, dans une progression par quotient, on prend quatre termes tels, qu'entre le premier et le deuxième il y ait autant de termes qu'entre le troisième et le quatrième, les quatre termes considérés forment une proportion.

135. Former une progression par différence dont fassent partie des nombres donnés «, b, c,

13C. Trouver la somme des /i premiers termes de la suite

137. Démontrer que le carré de la somme des n premiers nombres entiers est éi^al à la somme des cubes de ces mêmes nombres.

On vérifiera le théorème pour « = i, « = 2; on fera voir ensuite que, si le théorème est vrai pour n — />>, il est vrai aussi pour n ~ p-+- 1: de là, on conclura la démonstration.

138. Démontrer que la somme des // premiers termes de la suite

' 2 2X3 2x3x4 est moindre que 3, quel que soit n.

139. Démontrer que, dans la même suite, la somme d'autant de termes que l'on voudra pris après le n'""% est moindre que la //'"" partie de ce //''"" teime.

140. Démontrer que le rapport des logarithmes de deux nombres a et b est constant, quelle que soit la base du système.

ioo QUIÎSTIONS PROPOSEES. - APPENDICE.

En déduire que les logarilhmes des nombres, dans lo sys!ème dont la base est B', s'obtiennent en multi{)l,ant par un môme nombre constant les logarillimes corresjiOndants pris dans le système dont la base est B.

141. Calculer le logarithme d'un nombre N dans le système dont la biise est H. On prendra, par exemple,

N =: lo, B ^ a,; 1828) 8.

142. Trouver la base du système dans lequel un nombre donné N a pvur iogariilime un autre nombre donné n.

On distinguera le cas où /? est commensurable, et celui cù // est incommensurable. On prendra pour exemples :

1" N — y/5, n = yj-.

143. Combien faut-il prendre de facteurs dans la suite naturelle de nombres entiers i, -j., 3,4,.--: pour obtenir un produit supérieur à un nombre donné, à lo'"" par exemple?

.\0!K I. — SIEÎ 1-5 S DIFFÉRENTS SYSTÈMES 8)E MMÉIÎ.V IKi.V. 3oi