USAGES DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION

La considération des différents systèmes de numération peut servir à établir très-simplement diverses propriétés des nombres.

Par exemple, de la possibilité d'écrire un nombre quelconque dans le système binaire, résulte immédiatement ce théorème :

S. et de C, — Arithm. 'XQ

;5o6 NOTE il.

Tout nombre entier est une somme de puissances de 'j. distinctes, ou une somme de puissances de -i augmentée de i .

Quand on élablitla condition de divisibilité par b — i ou par Z>-+-i d'un nombre écrit dans le système dont la base est b, on démontre :

i" Que /'"'est un multiple do b — i augmenté de i ;

2° Que i'" est un multiple de /v -f-i augmenté ou diminué de i, suivant que m est pair ou impair.

On conclut de là cos deux théorèmes :

1° b"" — i es! divisible par b — i, quel t/ue soit b ;

2° b'" — I ou b'" -h I est divisible par b -i- i, selon que m est pair ou impair.

Nous donnerons un dernier exemple fort remarquable.

Un nombre étant écrit dans le système décimal, si on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite, les diverses tranches exprimeront des unités de mille en mille fois plus grandes, et l'on est dans le même cas que si le nombre était écrit dans le système dont la base est looo. Cela posé, comme Sy est un diviseur de looo — i, et que 7 et i3 sont des diviseurs de 1000 -i-i, on a Immédiatement la démonstration des deux théorèmes suivants :

Pour obtenir le reste de la division j)ar 87 cVun nombre écrit dans le système décimal, on peut décomposer le nombre en tranclics de trois chiffres a partir de la droite, faire ensuite la somme des nombres qui composent ces tranches, et prendre le reste de la division de cette somme par 37 ;

Pour obtenir le leste de la division par 7 ou par i3 d'un nombre écrit dans le système décimal, 1° on décompose le nombre en tranches de trois chiffres h partie de la droite ; 2° on fait la somme des nombres qui composent les tranches de rang impair et la somme des nombres qui composent les tranches de rang pair ; 3" on retranche la seconde somme de la première augmentée, s'il est nécessaire, d'un multiple de 7 ou de 1 3 ; 4" on prend le reste de la division par 7 ou par 1 3 de l'excès obtenu.