DES FRACTIONS ANALOGUES AUX FRACTIONS DÉCIMALES

Dans le système dont la base est b, les fractions dont le dénominateur est une puissance de b peuvent s'écrire à la manière des nombres entiers. Elles remplacent les fractions décimales de notre système.

A l'aide d'un raisonnement identique à celui dont nous avons fait usage au n" 201, on démontre ce théorème :

Pour qu'une fraction irréductible puisse être cotivertie en une fraction ayant pour dénominateur une puissance de la base, il faut et il suffit que son dénominateur ne renferme que des facteurs premiers de la buse.

Lorsqu'une fraction ne satisfait pas à cette condition, on peut former une suite de fractions qui en approchent indéfiniment et dont les dénominateurs sont les puissances successives de la base; ce qui conduit à la considération de fractions illimitées, nécessairement périodiques, et analogues aux fractions décimales périodiques.

Le retour d'une fraction périodique à la fraction génératrice s'effectue par des procédés semblables à ceux qui ont été décrits aux n°' 210 et suivants. On peut aussi établir ces deux théorèmes, analogues à ceux des n"" 206 et 207 :

Lorsque le dénominateur d^ine fraction irréductible ne renferme aucun facteur de la base, cette fraction engendre une fraction périodique simple i

Lorscjue le dénominateur d'une fraction irréductible renferme l'un des facteurs de la base avec d'autres facteurs premiers, la fraction engendre une fraction périodique mixte ; et le nombre des chiffres de la partie non périodique est égal au plus grand des exposants des facteurs de la base contenus dans le dénominateur de la fraction irréductible.