DES DIVISEURS D'UN NOMBRE. - SOMME DE CES DIVISEURS

I. Supposons que le nombre entier N ait été décomposé en facteurs premiers, et que l'on ait trouvé

N = a^ù^ct..., «, h, c,, . ., étant des nombres premiers inégaux et a, S, 7,..., des entiers

SUll LA THEORIE DES SOMBRES EXTIERS.

quelconques; pour avoir tous les diviseurs du nombre N, il suffit d'écrire les progressions par quotient

., tl

et de prendre tous les produits obtenus en multipliant un terme de la première par un terme de la deuxième, puis par un terme de la troisième, et ainsi de suite. Cela revient à dire que si l'on effectue le proùuit des sommes

..-hc'~

le résultat obtenu sera une somme de (a + i) (S -|- i) (7 + i). . . termes qui seront les diviseurs du nombre N, en comprenant parmi ces diviseurs l'unité et le nombre N lui-même. La somme S des diviseurs de N est donc égale au produit des sommes précédentes, et, d'après ce qui a été dit plus Iiaut, on a

[a —i;\ù —ii\r —\)...

SUR LES RESTES OBTENUS EN DIVISANT PAR UN MÊME DIVISEUR LES TERMES D'UNE PROGRESSION ARITHMÉTIQUE.

II. Théorème I. — Les nombres n et b étant supposés premiers entre eux, si l'on multiplie par b les ternies de la pi-ogression aiithiiiétique

et que l'on divise par a les a — i produits^ savoir :

(2) b, ib, 3b...., {a — i) /;,

on obtiendra pour restes les a — i termes de la progression [;), dans un certain ordre.

En premier lieu, aucun terme de la progression (2) ne peut donner le reste zéro; en effet, soit mb l'un de ces termes; a étant premier avec b, si ce nombre divisait mb, il diviserait aussi m; mais cela est impossible puisque a est supérieur à m. En second lieu, deux termes de la suite {2) ne peuvent donner des restes égaux ; en effet, soient /7<'^ et (m-{-m')b deux termes de la suite (2) : si ces termes donoaient le même reste, leur différence mb, qui est elle-même un terme de la suite (2), donnerait le reste zéro, et nous venons de voir que cela est impossible. Ainsi les restes fournis par la suite (2) sont tous différents et

3 10 NOTE m.

fucun d'eux n'est zéro; d'ailleurs, ces restes sont inférieurs au diviseui a; donc ils ne sont autre chose, abstraction faite de l'ordre, que les termes de la suite (i).

TuÉORÈME II. — Les nombres a et b étant supposés premiers entre eux et c étant un entier quelconque, si Von divise par a les termes de la progression arithmétique

on obtiendra pour restes, abstraction faite de l'ordre, les nombres

Le raisonnement dont nous venons de faire usage pour établir le théorème I peut être appliqué au cas actuel. Soient c + m'b et c + [m-\- m')b, deux termes de la suite (i), leur différence mb ne peut être divisible par «, puisque ce nombre est premier à Z> et qu'il est supérieur à m\ donc deux termes de la suite (i) ne peuvent donner le même reste. D'ailleurs les a nombres de la suite (i) fournissent des restes inférieurs au diviseur (7; donc ces restes sont nécessairement les termes de la suite (a).

Corollaire I. — Il y a dans la suite (i) autant de nombres premiers à a que dans la suite (a).

Cela est évident, puisque les nombres (a) ne diffèrent respectivement des nombres (i) que par des multiples de a.

Remarque. — Il convient de remarquer aussi que tous les termes de la suite (i) sont premiers à b, lorsque t> et c sont premiers entre eux. Au contraire, lorsque ^ et c ont un diviseur commun autre que l'unité, il n'y a dans la suite (i) aucun nombre premier à b.

Corollaire II. — Si a et b sont deux nombres premiers entre eux, c un nombre quelconque, on peut toujours trouver un nombre a tel que c -f- a é soit divisible par a.

SUR LE NOMBRE QUI EXPRIME COMBIEN IL Y A DE NOMBRES PREMIERS A UN NOMBRE DONNÉ ET NON SUPÉRIEURS A CE NOMBRE.

III. Nous représenterons par le symbole f [a] le nombre qui exprime combien il y a de nombres premiers à a et non supérieurs à a.

Théorème. — Si a et b sont des nombres premiers entre eux, on a <p [ab) = V («) ? (''-')•

Les ab premiers nombres, écrits dans l'ordre naturel, peuvent être disposés comme il suit, en b lignes contenant chacune a nombres :

«-I-1, «H- a, «+3,..., a + c,..., -xn,

%a + i, T.a-i-Q., 2<7 + 3...., la + c,..., 3a,

ba.

SUR LA THEORIE DES X03IBRES EXTIERS. 3ll

Par la définition du symbole 7, il y a o{n) nombres premiers à a dans la première ligne horizontale, et il y en a un pareil nombre dans chacune des lignes horizontales suivantes, d'après le corollaire I du n° IL On voit aussi, par la remarque qui suit ce corollaire, que les termes de la colonne verticale qui commence par c sont tous premiers ou tous non premiers à «; d'où il résulte qu'il y a, dans notre tableau, Z>^ {a) nombres premiers à a, et que ces nombres composent © [a] colonnes verticales du tableau. Supposons que l'une de ces colonnes commence par c; parmi les b nombres qui la composent, il y en a o{b) qui sont premiers à ù (n" II, corollaire I); par conséquent, il y a dans le tableau o{a) x (f{b) nombres qui sont à la fois premiers à « et à ^, c'est-à-dire premiers au produit nb. On a donc

(S [nb) = çp [a] (}(b).

Corollaire. — Si a, b, c, d,..., sont des nombres premiers entre eux deux à deux, on a

^ [abcd. . . ) = ï- (rt) ç (^) (ï (c ) cp (r/ ) . . . .

En effet, puisque les nombres «, 6, c, d,. . ., sont premiers entre eux deux à deux, l'un quelconque de ces nombres est premier avec le produit de tous les autres ou de quelques-uns de ceux-ci. On a donc, d'après le théorème qu'on vient d'établir,

o [abcd. . .] =^ p (n) o (bcd. . . ), o [bcd. .■ - : (ù[b] <^ [cd. ■ . .),

■^[cd.. : -T o[c) (D[d ),

et en multipliant toutes ces égalités, on obtient celle qu'il s'agissait d'établir.

Problème. — Le nombre entier N étant donné, trouver l'expression

de rf[]^].

Supposons d'abord que N ne renferme qu'un seul facteur premier; soit

n étant un nombre premier et a un entier quelconque. Parmi les nombres

les seuls qui ne soient pas premiers à N sont ceux qui sont divisibles par a; ces nombres sont donc

N leur nombre est - , et l'on a en conséquence a

<p(N)-N-^ ou <p(N) =n(^i-;J-

3l>^ NOTK III.

Considérons maintcn;mt le cas général, et soit

N = rt h c' ,

tT, è, r,('tant des non.bres premiers inégaux, et a, 6, y,,.., des entiers

quelconques. Comme r<°', b , c\ . . . , sont des nombres premiers entre e'ix deux à deux, on aura

mais, d'après ce qui vient d'ôlre établi, on a

donc

On peut écrire aussi

o{<rh\■\,,'^ = ,r-'l!'~'?-\...[a-^)[b-^)[c-^)....

Corollaire. — Soit N un nombre impair; 2 et N étant premiers entre eux, on a

mais y (2) est égal à i; donc

(^(■iN) = (p{N).

Remarque. — Les formules précédentes exigent que l'on admette ^(i )= i ; ce qui a lieu avec notre définition de <p, mais ce qui n'aurait plus lieu si l'on définissait 'f (r/) en disant que c'est le nombre qui marque combien il y a d'entiers premiers et inférieurs à a.

SUR LA SOMME DES NOMBRES QUI EXPRIMENT RESPECTIVEMENT COMBIEN IL Y A DE NOMBRES PREMIERS ET NON SUPÉRIEURS AUX DIVERS DIVISEURS D'UN NOMBRE DONNÉ.

l'v . Le nombre donné N étant décomposé en facteurs premiers, soit

}i = Il 0 c

Les diviseurs de N sont, comme on l'a vu, les termes du produit obtenu en multipliant entre elles toutes les sommes

Ce produit ayant été formé. «;i l'on effectue sur chacun de ses termes

SUR LA THEORIE DES X03IBRES EXTIERS. 3i3

I'opér:.tion désignée par», on obtiendra la somme S des nombres qui expriment combien il y a de nombres premiers et non supérieurs aux divers diviseurs de N. Mais pour exécuter l'opération désignée par ç> sur un produit de facteurs premiers entre oux deux à deux, il suffit d'exécuter l'opération o sur chacun des facteurs; on aura donc S en multipliant entre elles les sommes

?(0 -+-?(«) + ? («') +• • •+ ?^«"\ çp (i) -I- <? (6) -h <? (Z»^ ) + . . . 4- <P i>^) , ? (i) + <f (c) + ? (c' ) +. . .^ ? (c-''').

D'ailleurs on a

?(')=!, o[(;) — a — -.,.. ., 'f{rn = a"'~' [a — i), la première des somme» précédentes est donc

ce qui se réduit à a ; pareillement les sommes suivantes ont pour valeurs ù°, c',- . ., d'où il résulte que l'on a

Ainsi, Ifi somme n'es nombres qui expriment combien il y n respectivement de nombres premiers avec les diviseurs d'un nombre donné et non supérieurs à ces diviseurs, est précisément égale cm nombre donné.