SUR L EVALUATION DES QUANTITES IRRATIONNELLES

m. — ix<'-i — — X <i — ;•

Mais s'il n'en est pas ainsi, comme ces parties entières ne peuvent être me les nombres

rexcliision du nombre zéro exige que l'une d'elles soit la même dans deux produits différents. Soient donc

n { /»,. — la: ) = M + £, n [m^ — kx) = M -l- >î,

M étant entier, s et »? étant moindres que l'unité. Supposant, pour fixer les idées, i>>î, il vient, en lelranchanl membre à membre,

n ( m. — ix ) — n{ />}^ — kx) = £ — n <il.

Or deux cas peuvent se présenter, savoir />/• et ?</-. Dans le prem.ier cas, nous écrirons l'égalité précédente sous la forme

// [iii^ — Wj — ( / — X ) a,'] = e — •/;,

ce qui fait voir que m. est aussi plus grand que ni^, sans quoi la soustraction faite dans l'hypothèse de £> •/; fût éié impossible. D'ailleurs, le théorème énoncé en résulte bien évidemment, car i — k, diOérence de deux nombres moindres que //, est cestainement moindre que «. Kn supposant en second lieu i<^k, nous éci irons

et il est visible que w^ surpasse w^, sans quoi on aurait

ri{k — i)x<Ci,

résultat absurde, puisqu'on peut toujours supposer x supérieur à l'unité.

Dans ce second cas, la valeur approchée — * r-^est par défaut, et l'erreur

est moindre que —j-j rr ; donc le théorème énoncé a encore lieu, puisque

k — /, comme précédemment, est moindre que n.

Dans ce qu'on vient d'établir, le nombre n est quelconque. En le faisant croître indéfiniment, on voit la possibilité d'obtenir une suite infinie de fractions convergentes vers la valeur de x, telles que l'erreur par excès ou par défaut relative à chacune d'elles soit moindre que l'unité

divisée par le carré du dénominateur; car dans l'expression —.■> oblenuu

tout à l'heure, / est au plus égal à n : ainsi cette limite sera moindre en

général que -^ •