SUR L'EVALUATION APPROCHEE DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES

La théorie de l'extraclion des racines carrées, cubiques, etc., nous a conduit à cette notion arithmétique importante, de grandeurs parfaitement déterminées, quoique non exprimables exactement par des fractions de l'unité. C'est là un fait bien digne d'attention; car, à l'aide des fractions, il est évidemment possible de représenter des états de grandeur aussi peu différents qu'on le voudra les uns des autres. Cependant il existe une inGnilé de nombres irrationnels, essentiellement distincts, de sorte qu'il faut regarder comme infiniment particulier l'état d'une grandeur commensurable avec son unité. Toutes les fois, d'ailleurs, que vient s'offrir une quantité irrationnelle, de son origine même se tire le moyen de la comprendre entre des fractions aussi peu ditîerentes qu'on le veut. l£ffectivement, une quantité irrationnelle est toujours définie de telle manière

qu'on puisse l'évaluer à moins de -■, quel que soit l'entier n. Ici l'on est

amené à une question importante qu'on peut ainsi poser :

Déterminer, parmi toutes les fractions dont le dénominateur est

moindre quune certaine limite, celle ejui approche le plus d'une quantité

irrationnelle, définie comme on vient de le dire. Nous ne voulons point exposer dans tous ses détails l'importante théorie

a laquelle se rattache cette question; mais un procédé ingénieux du

célèbre géomètre allemand Lpjeune-Dirichlet nous permet de démontrer,

par une voie purement arithmétique, le théorème suivant qui fait l'objet

de cette Note :

Dans la série des fractions qui ont pour dénominateurs les nombres i ,

a, 3,..., «, // en existe au moins une, de dénominateur /, qui diffère

d'une quantité moindre que — j par excès ou par défaut, d'une irrationnelle donnée x.

Représentons par w, le nombre entier immédiatement supérieur à /jt, et considérons la suite des quantités

/»i — X , m^ — IX ^ /«j — 3a.',..., ///,. — nx,

qui seront toutes moindres que l'unité. Si l'on était assuré que l'un au moins des produits

«(/«, — x), n{m^ — i.x), «(/»3— 3a:),. . ., n[m„ — nx)

eût pour partie entière zéro, le théorème serait démontré, car on aurait, par exemple,

n (/;/. — ix) <". 1,