THÉORÈMES RELATIFS A LA MULTIPLICATION

kk. I. Pour multiplier une somme par un nombre, on jieul multiplier chaque partie de la somme par le nombre et ajouter ensuite les produits partiels obtenus.

Soit la somme 4 + 5 -+ 7 à multiplier par 3, II faut faire la somme de trois nombres égaux à 4 + 5 -•- 7. Le produit cherché est, par suite, égal à

Il se compose de trois parties égales à 4> de trois parties égales à 5, et de trois parties égales à 7 ; il est donc la somme des trois produits partiels 4 X 3, 5 X 3, 7 X 3.

Ce théorème s'exprime par l'égalité (28).

Un produit de deux facteurs ne change pas quand on renverse l'ordre des deux facteurs (43). L'égalité précédente peut donc s'écrire

et, sous cette nouvelle forme, elle exprime que, pour multiplier un nombre par une somme, on peut multiplier ce nombre par chaque partie de la somme et ajouter ensuite les résultats partiels obtenus.

45. II. Pour multiplier deux sommes l'une par l'autre, on peut multiplier chaque partie de la première somme par chaque partie de la seconde et ajouter ensuite les produits partiels obtenus.

Soient 4 + 5 + 7 à multiplier par 3-1-8. En regardant la première somme comme effectuée, le résultat sera d'abord, d'après ce qu'on vient de dire,

puis, en faisant les calculs indiqués (44),

46. III. Pour multiplier la différence de deux nombres par un troisième nombre, on peut les multiplier respectivement par ce troisième nombre et retrancher le plus petit produit du plus grand.

Soil 7 — 5 à multiplier par 3. On a

et, par suite (9),

Il en résulte (44)

La différence 7X3 — 5 X 3 est donc égale à 2 X 3 ou au produit de la différence 7 — 5 par 3, ce qui démontre le théorème énoncé.

Ce théorème s'exprime par l'égalité

En renversant l'ordre des facteurs dans chaque produit, cette égalité peut s'écrire

et, sous celle nouvelle forme, elle prouve que, pour multiplier un nombre par la différence de deux autres, on peut multiplier respectivement ce nombre par chacun des deux autres et retrancher le plus petit produit du plus grand.