THÉORÈME FONDAMENTAL

48. Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir d'une manière quelconque l'ordre des fadeurs.

La démonstration générale de celte propriété, que nous

avons déjà établie (43) pour le cas de deux facteurs, se compose de trois parties :

i" Dans lin produit de trois facteurs, on peut intervertir l'ordre des deux derniers facteurs.

Par exemple, les deux produits 6x5x4 et Gx4x5 sont égaux entre eux.

En elîei, écrivons sur une même ligne horizontale 5 fois le nombre 6 et répétons celte ligne 4 fois, nous formerons le tableau suivant :

La somme des nombres de chaque ligne horizontale esl6x5 et, comme il y a quatre lignes horizontales, la somme de tous les nombres du tableau est égale à 6x5x4- Mais, d'un autre côté, en additionnant les nombres d'une même ligne verticale, on trouve pour la somme 6x4; et, comme il y a cinq lignes verticales, la somme de tous les nombres du tableau est aussi égale à 6x4x5. On conclut de là l'égalité des deux produits considérés.

1" Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir l'ordre de deux facteurs consécutifs quelconques.

Par exemple, dans le produit

on peut intervertir l'ordre des fadeurs 5 et 4*

En effet, pour effectuer ce produit, il faut d'abord multiplier 7 par 6, ce qui donne le résultat 42. Il faut ensuite multiplier 42 par 5, puis le résultat par 4» etc. Or, au lieu de multiplier 42 par 5, puis le résultat par 4» on peut, d'après ce qui précède (1°), multiplier 42 par 4» puis le résultat par 5, el faire intervenir ensuite successivement les mêmes facteurs 3 et 2 que dans le premier cas. Donc, dans le produit considéré, on peut intervertir l'ordre des facteurs 5 el 4-

3° Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir d'une manière quelconque l'ordre des facteurs.

En effet, considérons un produit dont les fadeurs sont écrits dans un certain ordre; on peut prendre un facteur quelconque et l'échanger avec celui qui le précède. Cela fait, on peut en-

core avancer d'un rang ce même facteur et continuer ainsi jusqu'à ce qu'on lui ait fait occuper la première place. Prenant ensuite l'un quelconque des facteurs qui suivent, on peut le faire avancer successivement d'un rang jusqu'à ce qu'il occupe la deuxième place; et, en continuant ainsi, on peut écrire tous les facteurs dans l'ordre que l'on veut adopter, sans que la valeur du produit soit changée.