THÉORÈMES RELATIFS A LA DIVISION

G8. I. Si l'on multiplie par un même nombre le dividende et le diviseur, le quotient ne change pas et le reste est multiplié par le même nombre.

Soil i4 à diviser par 4- On trouve 3 pour quotient et 2 pour reste. On peut donc écrire

Supposons qu'on veuille multiplier le dividende et le diviseur par 7. En multipliant par 7 les deux membres de régaliié précédente, on obtiendra des résultats égaux; d'ailleurs, pour multiplier une somme par 7, il faut multiplier par 7 chacune de ses parties (44); on a donc

Dans le produit 4 X 3 x 7, on peut remplacer les facteurs 4 et 7 par leur produit (50), ce qui donne

Mais, d'après la division effecluée, le reste 2 est moindre que le diviseur 4 et, par suite, 2x7 est moindre que 4x 7. La dernière égalité posée montre alors que, si l'on divise 14X7 par 4X7, on a pour quotient 3 et pour reste 2 X 7 ; ce qui justifie l'énoncé.

69. II. Pour diviser un produit par l'un de ses facteurs, il suffit de supprimer ce facteur.

En effet, soit le produit 3 X 4 X 5 à diviser par 4. Le produit proposé peut se mettre sous la forme

Le quotient de sa division par 4 est donc bien 3 x 5 (54).

Il résulte de ce théorème que, pour diviser un produit par un nombre, il suffit de diviser l'un des facteurs du produit par ce nombre, en admettant que la division se fasse exactement.

En effet, soit le produit 3 x 20 x 7 à diviser par 4. La division du (acteur 20 par 4 se fait exactement, et elle donne 5 pour quotient. On a donc 20 = 4 X 5, et le produit proposé

^o LIVRE I. - CHAPITRE IV.

esl égal (50)à 3x4x5x7- l*our diviser ce produii par 4, on vient de voir qu'il suffit de supprimer le facteur 4- On a donc bien pour quotient 3x5X7-

70. 111. Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de diviser successivement ce nombre et les quotients obtenus par les facteurs du produit.

En effet, soit à diviser 240 par 24 qui esl le produit des facteurs 2, 3, 4- Le quotient de la division des nombres 240 et 24 étant égal à 10, le dividende 240 esl égal à 10X24 ou (4-9) égal à 10X2X3x4- En divisant ce nombre par 4> on obtient pour quotient 10X2X 3 (69); en divisant ce quotient par 3, on obtient le deuxième quotient 10X2; enfin, en divisant ce deuxième quotient par 2, on obtient le troisième quotient 10, qui est précisément le quotient de 240 par 24.

Le raisonnement dont nous venons de faire usage suppose que In division du nombre donné par le produit donné se fait exactement; mais il convient de remarquer que la proposition précédente subsiste quand la division ne se fait pas exactement, pourvu qu'on fasse alors abstraction des restes et qu'on se propose seulement de déterminer le quoiieni. Supposons, par exemple, qu'on ail à diviser 257 par le produit 24 des trois nombres 2, 3, 4- La division de 257 par 24 donne le quotient 10 cl le reste 17 : il en résulte que 257 est compris entre 24 X 10 et 24 X 1 1 ; par suite, si l'on divise successivement 257 par 4, 3, 2, en faisant abstraction des restes, le dernier quotient obtenu ne sera pas inférieur à 10, mais il sera moindre que 11- Ce quotient ne peut donc être que 10.