THÉORÈMES RELATIFS AUX PUISSANCES

72. L Le produit de deux ou plusieurs puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant la somme des exposants des jacteuis.

42 LIVRE I. - CIIAPITRR V.

Soil 5' à mulliplier par 5'. On peut, dans le produit 5^x5', remplacer 5' par trois facteurs égaux à 5, et 5' par quatre facteurs égaux à 5. Le produit renfermera donc (49) sept facteurs égaux à 5 et sera 5' ou 5'"^*.

La même chose a lieu dans le cas de plus de deux facteurs. Soit, par exemple, le produit 5'x5*x5*. Le produit des deux premiers facteurs étant 5^+*, on trouvera, en multipliant ce produit par le troisième facteur, S»*"*"*^.

73. U. Le quotient de deux puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant la différence des exposants du dividende et du diviseur.

Soit à diviser 5' par 5*. Puisque 7 — 4 = 3, on a (72)

5' = 5*;<£>' et, par suite, 5' : 5* = 5'= 5'~'.

Si l'on applique le résultat précédent au cas où le dividende et le diviseur sont égaux, c'est-à-dire si l'on divise, par exemple, 5' par 5% on trouve

D'autre part, 5': 5' = i . On est ainsi conduit à regarder tout nombre affecté de l'exposant zéro comme équivalant à l'unité.

74. IH. Pour élever une puissance à une autre puissance, il suffit de multiplier le premier exposant par le second.

Supposons qu'on veuille élever 5* à la quatrième puissance. On a (72)

75. IV. On élève un produit à une puissance en élevant chacun de ses facteurs à cette puissance.

Supposons qu'on veuille élever le produit 2X5' X 4 à la troisième puissance. On a, d'après ce qui précède,

ou (49)

( 2 X 5- X 4 )' = 2 X 5' X 4 X 2 X 5' X 4 X 2 X 5' X 4» ou enfin (50, 74)

ce qui justifie l'énoncé.