PROPRIÉTÉS DES DIVISEURS

77. I. Tout diviseur de plusieurs nombres est un diviseur de leur somme.

Considérons, par exemple, plusieurs nombres divisibles par 5. Chacun d'eux étant un multiple de 5, il en est de même de leur somme {kk).

Tout diviseur d'un nombre divise les multiples de ce nombre; car tout multiple d'un nombre est la somme de plusieurs nombres égaux à ce nombre.

78. 11. Tout diviseur de deux uunibies est un diviseur de leur différence.

Considérons, par exemple, deux nombres divisibles j)ar 5. Chacun d'eux élanl un muliiple de 5, il en esl de même do leur différence (46).

Tout diviseur de deux nombres divise le reste de leur division.

Soient, par exemj)le, deux nombres divisibles par 5. Si on les divise l'un par l'autre, le reste de la division esl égal à l'excès du dividende sur le produit du diviseur par le quotient. Ce reste, élanl la différence de deux multiples de 5, esl luimême divisible par 5.

Il résulte immédiatement de là que, lorsqu'on divise le dividende et le diviseur d'une division par ni\ même nombre, le quotient ne change pas cl le reste est divisé par ce nombre (08).

79. m. Le reste de la division de deux nombres ne cliange pas quand le dividende varie en plus ou en moins d'un multiple du diviseur.

En effet, pour avoir le reste d'une division, il faut du dividende retrancher le diviseur autant de fois que possible; par conséquent, ce rcsle ne peut être modifié, lorsqu'on recommence la division après avoir augmenté ou diminué le dividende d'un multiple du diviseur.

Ce théorème important peut s'énoncer aussi de la manière suivante :

Quand la différence de deux nombres est un multiple d'un troisième nombre, les deux nombres divisés respectivement par ce troisième donnent des restes égaux.

80. IV. Réciproquement, si deux nombres divisés par un troisième donnent des restes égaux, leur différence est un multiple de ce troisième nombre.

Considérons, par exemple, les deux nombres 38 et 28 qui, divisés par 5, donnent le même reste 3. On a

38 =; un multiple de 5-^3, 28 = un multiple de 5 -h 3.

Il en rcsiille immédialement

38 — 28 = un multiple de 5.

81. V. Si l'on divise plusieurs nombres par un même diviseur, la différence entre le produit des dividendes et le produit des restes obtenus est un multiple de ce diviseur.

Soient, par exemple, les trois nombres 38, 29 et 17. Divisons ces nombres par le même diviseur 5; nous obtiendrons respeciivement les restes 3, 4 et 2, et nous aurons

38 = un multiple de 5 -4- 3, 29 r= un multiple de 5 h- 4, 17 = un multiple de 5 + 2.

Considérons les deux premières égalités. Chacun des nombres 38 et 29 étant ainsi décomposé en deux parties, on peut, pour avoir leur produit, multiplier chaque partie de la première somme par chaque partie de la seconde, et ajouter les produits partiels obtenus (45). En multipliant d'abord les deux parties de 38 par la première partie de 29, qui est un multiple de 5, on obtient deux multiples de 5; on en obtient un troisième en multipliant la première partie de 38 par la deuxième partie de 29; enfin, en multipliant la deuxième partie de 38 par la deuxième partie de 29, on obtient le produit 3Xzi. Par suite, le produit 38x29 est la somme de quatre parties dont les trois premières sont des multiples de 5 et dont la quatrième est égale à 3 x 4- On a donc

38x 29= un multiple de 5 h- 3 X 4-

Si l'on rapproche ce premier résultat de la troisième égalité,

i-j = un multiple de 5 -f 2,

Un raisonnement analogue conduira à la relation

38 X 29 X 1 7 = un multiple de 5 h- 3 X 4 X 2,

et cette relation démontre le théorème proposé.

De ce que la différence entre le produit des dividendes et celui des restes est un multiple de 5, il résulte (79) qu'en divisant respectivement par 5 le produit des dividendes et celui des restes, on doit trouver des restes égaux. On peut donc

.(0 LIVRE II. - CllAPITIΠI.

encore énoncer le lliéorème considéré de la manière suivanie :

Le diviseur employé restant le même, le reste d'un produit de plusieurs fadeurs est égal au reste du produit des restes de tous les facteurs.