CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ

82. On a souvent besoin de savoir si un nombre est divisible par un autre, et, lorsque cela n'a pas lieu, de connaître le reste de la division du premier par le second. Dans la plupart des cas, le moyen le plus simple de résoudre cette question consiste à faire la division des deux nombres en suivant la règle ordinaire; mais on peut éviter cette opération et arriver plus rapidement au résultat dans quelques cas particuliers que nous allons étudier. La méthode dont on fait usage à cet effet repose sur le théorème du n°79, en vertu duquel :

Le reste de la division de deux nombres ne change pas quand on supprime dans le dividejide un multiple quelconque du diviseur.

RESTES DE LA DIVISION D'UN NOMBRE PAR 2 ET PAR 5, PAR 4 ET PAR 25.... CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ PAR CES DIVISEURS.

83. Le reste de la division d'un nombre par 2 ou par 5 est le même que le reste de la division du chiffre de ses unités par 2 ou par 5.

Considérons, par exemple, le nombre 78713; ce nombre est égal à 7871 x 10 h- 3; or 7871 X 10 est un multiple de 10 : donc ce nombre est un multiple de 2 et de 5, puisque 10 est le produit de 2 par 5; donc le reste de la division de 78713 par 2 ou par 5 est le même (79) que le reste de la division de 3 par 2 ou par 5.

Un nombre est àil pair ou impair, suivant qu'il est ou non divisible par 2. D'après cela, on voit que :

Un nombre est pair ou impair, suivant que le chiffre de ses unités est pair ou impair. Zéro est considéré comme un chiffre pair.

5 étant le seul chiffre divisible par 5, on voit aussi que :

Pour qu'un nombre soit divisible par 5, // faut et il suffit que le chiffre de ses unités soit o ou 5.

On peut démontrer de la même manière que :

Le reste de la division d'un nombre par 4 ou par 25 est le même que le reste de la division par 4 ou par 25 du nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite.

Considérons, par exemple, le nombre 78713; ce nombre est égal à 787 X 100 -f- i3; or 787 X 100 esl un multiple de 100 ; donc ce nombre est un multiple de 4 ei de 25, puisque 1 00 esl le produit de 4 par 25: donc le reste de la division de 78713 par 4 ou par 25 esl le même (79) que le reste de la division de i3 par 4 ou par 25. On voit aussi que :

Pour qu'un nombre soit divisible par 4 ou par 25, il faut et il suffit que le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite soit divisible par 4 ou par 2.5.

On arrive de la même manière à des propriétés analogues pour les diviseurs 8 et i25, . . . .

RESTES DE LA DIVISION D'UN NOMBRE PAR 9 ET PAR 3. CONDITION DE DIVISIBILITÉ PAR 9 OU PAR 3.

84. En premier lieu, l'unité suivi-e d'un ou de plusieurs zéros esl un multiple de 9 augmenté de i ; car, si l'on effectue la division par 9 du nombre 1000. . ., il est évideni que tous les restes seront égaux à i :

Il suit de là qu'un nombre formé d'un chiffre significatif suivi d'un ou de plusieurs zéros esl égal à un multiple de 9 augmenté de ce chiffre. En effet, soil le nombre 70000. Comme loooo est un multiple de 9 plus i, 70000 sera égal à 7 fois un multiple de 9 plus 7 fois i, c'esl-à dire égal à un multiple de 9 plus 7.

11 esl maintenant facile d'établir celle propriété générale, savoir :

Tout nombre est égal à un multiple de 9 augmenté de la somme de ses chiffres.

43 LIVRE II. - CHAPITUH I.

Prenons pour exemple le nombre 74852. Ce nombre est égal

à 70000 + 4000 -1- 800 -f- 5o -K 2 ; or, d'après ce qu'on vient de

voir,

70000 est un multiple de 9 -i- 7,

4000 est un multiple de 9 + 4.

800 est un multiple de 9 + 8, 5o est un multiple de 9-1-5; donc

74852 est un multiple de 9-1-7-^4-^-8-1-5 -h 2;

ce qui démontre la proposition énoncée.

Comme 3 est un diviseur de 9, on peut dire aussi que :

Tout nombre est égal à un multiple de 3 augmenté de la somme de ses chiffres.

De ce qui précède on conclut que :

1° Le reste de la division d'un nombre parc) ou par 3 est le même que le reste de la division de la somme de ses chiffres parc) ou par 3.

2" Pour qu'un nombre soit divisible par 9 ou par 3, il faut et il suffît que la somme de ses chiffres soit divisible par 9 ou par 3.

Remarque. — Dans la pratique, quand on fait la somme des chiffres d'un nombre pour avoir le reste de la division de ce nombre par 9, on supprime 9 chaque fois que cela est possible. Soit, par exemple, le nombre 74852, on dira : 7 et 4- • • J i ; 2 et 8. . . 10; I et 5. .. 6 et 2. .. 8; 8 est le reste de la division de 74852 par 9.

RESTE DE LA DIVISION D'UN NOMBRE PAR 11. CONDITION DE DIVISIBILITÉ PAR H.

80. En premier lieu, l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros est un multiple de 11, augmenté de i si le nombre des zéros est pair, et diminué de i si le nombre des zéros est impair. En effet, si l'on effectue la division par 11 du nombre lOOOO. . . ,

lOOOO. . . i I 1

ii est évident que les restes seront alternativement i et lo; le dernier de ces restes sera égal à i, si le nombre des zéros du dividende est pair, et égal à lo si le nombre des zéros est impair. Dans le premier cas, le dividende est égal à un multiple de 1 1 augmenté de i ; dans le second cas, il est un multiple de II diminué de i, puisque lo est égal à ii moins i.

Il résulte de là que tout chiffre significatif suivi d'un ou de plusieurs zéros est égal à un multiple de 1 1, augmenté ou diminué de ce chiffre, suivant que le nombre des zéros est pair ou impair. Considérons, en effet, les nombres 700 et 7000. Comme 100 est un multiple de 1 1 plus i, 700 sera égal à 7 fois un multiple de II plus 7 fois i, c'est-à-dire égal à un multiple de 11 plus7. Pareillement, 1000 étant égal à un multiple de 1 1 moins i, 7000 sera égal à 7 fois un multiple de 11 moins 7 fois i, c'està-dire égal à un multiple de 1 1 moins 7.

On peut conclure de ce qui précède la propriété suivante :

Tont nombre est égal à un multiple de 1 1 augmenté de la somme de ses chiffres de rang impair à partir de la droite et diminué de la somme de ses chiffres de rang pair.

Soit le nombre 74852, égal à 70000 -+- 4000 -+■ 8co +50 + 2; d'après ce qu'on vient de voir,

70000 est un multiple de ii-f-7,

4000 est un multiple de 1 1 — 4>

800 est un multiple de 1 1 + 8,

5o est un multiple de n — 5;

donc

74852 est un multiple de 11 -+-7-1-8+2 — 4 — ^>

ce qui démontre la proposition énoncée.

Il résulte de là que :

Le reste de la division d'un nombre par 11 est le même que le reste de la division pan i de l'excès de la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, sur la somme des chiffres de rang pair.

11 faut observer que, si la somme des chiffres de rang impair est inférieure à la somme des chiffres de rang pair, on doit (79) augmenter la première somme ou diminuer la seconde d'un multiple convenable de 11, afin de rendre la soustraction possible.Supposons, parexemple, qu'il s'agissedu nombre 728192; la somme des chiffres de rang impair est 2 + i h- 2 ou 5, la

s. et de C. — Arithm. L

5o LIVRE II. - CHAPITRE 1.

somme des chiffres de rang pair est 9 -h 8 -f- 7 ou 24. En reiranchanl 22 de celle dernière somme, il reste 2; le resie de la division de 728192 par 1 1 csl donc 5 — 2 ou 3.

Pour qu'un nombre soit divisible par 1 1, il faut et il suffit que la somme des chiffres de rang impair soit égale à la somme des chiffres de rang pair, ou que la différence de ces deux sommes soit divisible par 1 1 .

[Foir la Noie 1 pour la généralisation des notions précédentes.)