THÉORIE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

tients obtenus et le mulliplier ensuite par le diviseur considéré.

96. III. Si l'on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients obtenus sont premiers entre eux{^'i).

Celte proposition est une conséquence immédiate du théorème précédent; car, lorsqu'on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, on divise en même temps ce plus grand commun diviseur par lui-même, de sorte que les quotients obtenus ont pour plus grand commun diviseur l'unité.

La réciproque (* ) est évidente.

97. IV. Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un d'eux divise l'autre.

Soit, par exemple, le nombre 28 qui divise le produit 33xi4o et qui est premier avec 33; il faut prouver que 28 divise i4o.

En effet, 33 et 28 étant premiers enu-e eux, leur plus grand commun diviseur est i (93). Il en résulte (93) que le plus grand commun diviseur des deux produits 33 X i4o et 28 x i^o est I X i4o ou i4o. D'ailleurs, 28 divise par hypothèse le premier produit, il divise le second qui est un multiple de 28; par suite, 28 divise le plus grand commun diviseur i4o de ces deux produits (94).