RECHERCHE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE PLUSIEURS NOMBRES

101. Supposons qu'on demande de trouver le plus grand commun diviseur des quatre nombres

Tout commun diviseur de ces quatre nombres, divisant en particulier 852 et 192, divise leur plus grand commun diviseur 12 (94); il est donc un diviseur commun des trois nombres

Réciproquement, tout diviseurcommun de ces trois nombres divise 852 et 192, qui sont des multiples du premier d'entre eux; donc il divise les nombres proposes.

Ainsi les nombres 852, 192, 42, 27 ont les mêmes communs diviseurs que les nombres 12, 42, 27; par conséquent, le plus grand commun diviseur des uns est égal au plus grand commun diviseur des autres.

Le plus grand commun diviseur des deux nombres 12 et 42 est 6, et l'on voit, par le raisonnement que nous venons de faire, que le plus grand commun diviseur des nombres proposés est égal à celui des deux nombres

Ce dernier plus grand commun diviseur est 3 : c'est le nombre demandé.

On peut d'après cela énoncer la règle suivante :

Pour ai'oir le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on cherche le plus grand commun diviseur des deux premiers; puis le plus grand commun diviseur du nombre obtenu et du troisième des nombres proposés; et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les nombres aient été employées. Le dernier plus grand commun diviseur obtenu est celui des nombres proposés.

Dans la pratique, il convient d'opérer sur les nombres donnés en les rangeant par ordre de grandeur croissante; on diminue ainsi, en général, la longueur des calculs.

Lorsque le plus grand commun diviseur de plusieurs nom-

THÉORIE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. 5g

bres est égal à l'unilé, ces nombres sont dits premiers entre eux dans leur ensemble.

102. Le raisonnement que nous venons de faire démontre aussi les propriétés suivantes :

1° Tout commun diviseur de plusieurs nombres divise leur plus grand commun diviseur.

2° Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise plusieurs nombres par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par le même nombre.

3° Lorsqu'on divise plusieurs nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients obtenus sont premiers entre eux dans leur ensemble.

r,o LIVRE II. — CHAPITRE III.