DÉFINITION ET THÉORÈMES PRÉLIMINAIRES

103. Un nombre peut être divisible par plusieurs nombres donnés. Il est alors un commun multiple de ces nombres. De tous les communs multiples de plusieurs nombres, le plus petit est ce qu'on appelle \eur plus petit commun multiple.

105p. L Tout commun multiple M de plusieurs nombres a, b, c, est un multiple de leur plus petit commun multiple m. .

En effet, si M n'était pas un multiple de m, la division de M par m donnerait un quotient q et un reste r, et l'on aurait

M = mq -+- r.

Chacun des nombres a, b, c, divisant M et m, devrait, d'après cette égalité (78), diviser r qui serait alors, contre l'hypothèse, un multiple commun moindre que m des nombres a, b, c.

105. IL Lorsque les quotients q, q', q" , obtenus en divisant un commun multiple M de plusieurs nombres a, b, c, par chacun d'eux, sont premiers entre eux dans leur ensemble (101), ce commun multiple est le plus petit commun multiple des nombres donnés.

Les quotients q, q', q", ont, par hypothèse, l'unité pour plus grand commun diviseur.

Or, si M n'est pas le plus petit commun multiple des nombres donnés, soit m ce plus petit commun niultifile. Nous aurons alors, d'après le théorème précédent (104) et /r étant un entier quelconque, M = lim. Mais on a aussi

M = h ni =z aq^=^ bq' =-^ cq".