III. La suite des nombres premiers est illimitée

Soit p un nombre premier; on peut démontrer qu'il existe un nombre premier plus grand que p. En effet, multiplions entre eux tous les nombres premiers 1,2, 3, 5,... jusqu'à p inclusivement, et désignons par P le produit obtenu. En ajoutant I à ce produit, on obtient la somme P-4- 1. Or, de deux choses l'une : ou P -4- i est premier, ou il ne l'est pas. Si le premier cas a lieu, il est établi qu'il existe un nombre premier plus grand que p. Si P + i n'est pas premier, il a un diviseur premier, et ce diviseur est nécessairement plus grand que p; car tout nombre premier moindre que />, entrant comme facteur dans le produit P, divise P, et ne peut diviser P -1- i.

Il résulte de ce qui précède qu'un nombre premier étant donné, il en existe toujours un plus grand; par conséquent, la suite des nombres premiers est illimitée.