CHAPITRE IV

NOTIONS PRÉLIMINAIRES

11-2. Un nombre est dit premier lorsqu'il n'a d'aulres diviseurs que lui-même el l'unité.

Il est évident qu'un nombre premier est premier avec tous les autres nombres, sauf ses multiples (93).

113. I. Tout nombre qui n'est pas premier admet un diviseur premier.

En effet, soit N un nombre non premier. Puisque N n'est pas premier, il a un diviseur N' plus grand que i et moindre que N. Si N' est premier, le théorème est démontré. Si N' n'est pas premier, N' admet, à son tour, un diviseur N" plus grand que i et moindre que N'; et, comme N est un multiple deN', on voit que N" est un diviseur de N. Si N" est un nombre premier, le théorème est donc démontré; et, si N" n'est pas un nombre premier, on ne peut manquer, en poursuivant la même marche, d'arriver à un diviseur premier de N. En effet, la suite des nombres N', N",. . . se compose de diviseurs de N qui vont en décroissant, en restant toujours plus grands que i : cette suite est, par conséquent, nécessairement limitée. Comme elle ne se termine d'ailleurs que lorsqu'on a trouvé un nombre premier, le nombre N a un diviseur premier.

II. Deux ou plusieurs nombres qui ne sont pas premiers entre eux admettent un dii'iseur premier commun.

En effet, le plus grand commun diviseur des nombres proposés, s'il n'est pas premier, admet un diviseur premier; et ce diviseur premier divise les nombres proposés, qui sont des multiples de leur plus grand commun diviseur.