THÉORÈMES RELATIFS AUX NOMBRES PREMIERS

117. I. Tout nombre premier qui divise un produit de plusieurs facteurs divise au moins l'un d'eux.

Considérons d'abord un produit de deux facteurs Sa x 28, et

GS LIVHI^ II. - CHAriTHK IV.

supposons que ce produit soil divisible par le nombre premier i3 : il faut que i3 divise 28 ou Sa. En effet, si i3 ne divise pas ?8, il est premier avec 28 (112) et, par conséquent, puisqu'il divise le produit Sa X 28, il divise nécessairement le facteur 5i (97).

Soil maintenant un produit de plusieurs facteurs

et supposons que ce produit soit divisible par !e nombre premier i3 : il faut que i3 divise au moins l'un des facteurs du produit. En effet, ce produit peut être considéré comme ayant pour facteurs 28 et 44 X 36 x 52. i3 ne divisant pas 28 est premier avec lui et, par suite, divise le facteur 44 X 36x52; mais on peut regarder ce nombre comme composé, à son tour, des facteurs 44 et 36x52, et, comme i3 ne divise pas 44» '^ 'J'~ vise 36 X 52. Enfin i3, divisant ce dernier produit sans diviser 36, divise nécessairement 52.

118. Voici deux conséquences immédiates du théorème précédent :

Tout nombre premier qui divise une puissance d'un nombre divise ce nombre.

Soit le nombre premier 7 qui divise 14^ Le nombre premier 7, divisant le produit i4x i4X i4> doit diviser l'un des facteurs de ce produit, c'est-à-dire i4.

Si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances quelconques sont premières entre elles.

Soient les nombres 8 et i5 qui sont j)remiers entre eux. Si leurs puissances 8* et i5* n'étaient pas premières entre elles, elles admettraient un diviseur premier commun p (113); mais p divisants* diviserait 8 et, divisant i5% diviserait i5, de sorte que, contre l'hypothèse, les nombres 8 et i5 ne seraient pas premiers entre eux.

119. II. Tout nombre premier avec les facteurs d'un produit est premier avec ce produit ; réciproquement, tout nombre premier avec un produit est premier avec les facteurs de ce produit.

Soient le nombre N el le produit P = «6ci/. Si N est premier avec tous les facteuis a, b, c, d, il est premier avec P; car, s'il n'en était pas ainsi, N el P auraient un diviseur premier cou)-

mun/> qui, divisant P, diviserait au moins l'un des facteurs a, b, c, ci, de sorte que, contre l'hypothèse, N ne serait plus premier avec tous les facteurs du produit.

Réciproquement, si N est premier avec le produit P, il est premier avec tous les facteurs a, b, c, cl; car, s'il n'en était pas ainsi, N et a, par exemple, auraient un diviseur premier commun p qui, divisant a, diviserait P multiple de a, de sorte que, contre l'hypothèse, N et P ne seraient plus premiers entre eux.

120. m. Tout nombre divisible par plusieurs nonibres premiers entre eux, deux à deux, est divisible par leur produit.

Soit le nombre N divisible séparément par chacun des nombres a,b,c, premiers entre eux deux à deux. Désignons parc le quotient de la division de N par a, nous aurons (*)

N = aq.

N étant divisible par b, il en est de même du produit aq ; mais b est premier avec a : donc il divise q (97). Désignons par q' le quotient de la division de q par b, nous aurons

q = bq' et, par suite, N=ra6(/'.

N étant divisible par c, il en est de même du produit abq'; mais c étant pn micr avec les facteurs a et b est premier avec le produit «6 (119) et, par suite, divisant ab y q', il divise q'. Désignons par cf le quotient de la division de q' par c, nous aurons

q' = cq" et, par suite, N = abccj",

cequi démontre le théorème énoncé, établi autrem en tau n° 111.

121. En rapprochant ce théorème des résultats obtenus aux n"' 83 etsuivants, on peut étendre les caractères de divisibilité. Par exemple, les nombres 5 et 9 étant premiers entre eux, pour qu'un nombre soit divisible par leur produit 45, il faut et il

uffit qu'il soit divisible séparément par 5 et par 9, c'est-à-dire qu'il soit terminé par un o ou par un 5 et que !a somme de ses chiffres soit divisible [)ar 9.

(*) Quand deux ou plusieurs nombres sont représentés ])ar des lettres, on indique leur produit en écriviint ces lettres les unes à la suite des auUes et en omettant le signe X-

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