DÉCOMPOSITION D'UN NOMBRE EN FACTEURS PREMIERS
122. I. Tout nombre qui n 'est pas premier est un produit de nombres premiers.
En effet, soii N un nombre non premier. Ce nombre a alors
un diviseur premier rt (113) et, en désignant par N' le quotient
de N par a,
Si N' est premier, le théorème est démontré. Dans le cas contraire. N'a un diviseur premier 6 et, en appelant N" le quotient de N' par b, on a
N' = 6N", c'est-à-dire N = ab .\" .
Si N" est premier, le théorème est démonf. é. Dans le cas contraire, on continue à suivre la même marche jusqu'à ce qu'on ait trouvé un nombre premier dans la série des quotients N', N",.... C'est ce qui ne peut manquer d'arriver; car, les quotients successifs allant constamment en diminuant, leur nombre est nécessairement limité.
123. D'après le théorème précédent, tout nombre non premier N peut être mis sous la forme
N = abc. . ./,
a,b, c,. . ., l étant des nombres premiers égaux ou inégaux. On dit alors que le nombre N est décomposé en facteurs premiers; par conséquent, décomposer un nombre en fadeurs premiers, c'est trouver les facteurs premiers dont il est le produit.
Quand un facteur premier se trouve répété plusieurs fois
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES NOMBRES PREiMIERS. 71
dans Je nombre donné, on l'indique à l'aide de la notation de l'exposant (71). Par exemple, si N est le produit de trois facteurs égaux à 7, de deux facteurs égaux à 11 et d'un seul facteur égal à i3, on écrira
N= 73X ii'X i3.
On dit alors que le nombre N contient les facteurs premiers 7, II, i3, avec des exposants respectivement égaux à 3, 2, 1 .
124. II. Uji nombre n'est décomposahle que d'une seule manière en facteurs premiers.
En effet, deux produits de facteurs premiers ne peuvent représenter la valeur d'un même nombre qu'à la condition d'être identiques. Admettons, par exemple, que le nombre N soit représenté à la fois par le produit des nombres premiers a, b, c, d et par celui des nombres premiers a' , b', c' , d' .
On aura alors
abcd=ia' b' c' d' .
rt, divisant le premier produit, devra di-viser aussi le second; mais a, étant un nombre premier, ne peut diviser le second produit qu'en divisant au moins l'un des facteurs de ce produit (117). D'ailleurs, tous les facteurs du second produit sont des nombres premiers, et a ne peut diviser l'un d'eux que s'il lui est égal. On prouvera de même que les autres facteurs b,c,d du premier produit se retrouvent parmi les facteurs du second, et réciproquement. La démonstration ne supposant pas que les facteurs a, b, c, d soient tous inégaux, on voit en outre que, si un facteur premier est répété un certain nombre de fois dans le premier produit, il est répété le même nombre de fois dans le second produit. Ainsi les deux produits de nombres premiers qui représentent le même nombre N sont identiques quant aux facteurs qui les composent et quant aux exposants de ces facteurs.
Ce théorème étant établi, tout procédé de décomposition conduira au but, puisqu'il n'y a qu'une seule manière d'effectuer cette décomposition.
