MULTIPLICATION DES NOMBRES DÉCIMAUX

188. Multiplication d'un nombhe décimal pau un lntier. — Supposons qu'on ail à mulli|)lier 3,i4i par 23. Le multiplicande se compose de 3i4' niilliènies : donc le produiise composera de 23 l'ois 3i4i millièmes. 11 faut donc, pour obtenir ce produit, multiplier 3i4i par 23 et faire exprimer des millièmes au résultai. L'opération est ainsi disposée:

Donc : Pour multiplier un nombre décimal par un entier, il faut multiplier le multiplicande par le multiplicateur, en faisant abstraction de la virgule, et séparer ensuite à la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'il / en a au multiplicande.

189. Multiplication de deux nombkes décimaux. — Supposons qu'on ait à multiplier 3, i4i par 9,86. Le multiplicateur 9,86

est égal à la fraction - — ; on aura donc le produit demandé, 100 '

en prenant le centième de 3, i4i, ce qui se fait en reculant la virgule de deux rangs vers la gauche, el en multipliant le résultat obtenu o,o3i4i par 986. On est ainsi conduit (188) à multiplier 3i4i par 986 et à séparer ensuite cinq chiffres décimaux à la droite du produit. On dispose l'opération comme il suit :

3o,97 026 On voit que :

Pour multiplier deux nombres décimaux, il faut opérer en

faisant abstraction des virgules et séparer ensuite, à la droite du produit obtenu, autant de chijfres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs.

190. Division d'un nombre décimal par un entier. — Supposons qu'on ait à diviser 3i ,4i5 par 12. 11 s'agit de prendre la douzième partie de 3i4i5 millièmes ; on aura donc le quotient cherché en divisant 3i4i5 par 12 et en faisant exprimer des millièmes au quotient obtenu. On dispose l'opération comme il suit î

Si ,4i5 ! 12

1 1 Le quotient demandé est égal au nombre décimal 2,617 augmenté de — de millième. En négligeant cette fraction de millième, on commet une erreur moindre que 0,001 et l'on dit que le quotient des nombres proposés est 2,617 à un millième

près. Si, au lieu de négliger la fraction — de millième, on la

remplace par 0,001 , l'erreur que l'on commet est aussi moindre que 0,001, et le nombre 2,618 que l'on obtient exprime encore à un millième près le quotient des nombres proposés.

Le nombre 2,617 est une valeur du quotient approchée /7«r défaut; 2,618 est une valeur approchée par excès.

On voit que :

Pour diviser un nombre décimal par un entier, il faut opérer en faisant abstraction de la virgule et séparer ensuite sur la droite du quotient obtenu autant de décimales qu'il y en a au dividende.

En appliquant cette règle, on obtient la valeur exacte du quotient ou la valeur approchée de ce quotient à une unité près de l'ordre du dernier chiffre du dividende. On peut ainsi calculer le quotientavec une approximationaussi grande qu'on le veut en écrivant des zéros à la droite du dividende avant

no LIVRE m. - CHAPITUE III.

d'appliquer la règle précédente. Veul-on, par exemple, évaluer le quotient 82,9 par 12 à un millième près; on appliquera la règle aux nombres 32,go(> et 12. L'opération est disposée comme il suit :

Le quotient demandé est 2,741 à un millième près, par défaut. Comme on le voit, nous nous sommes dispensés d'écrire deux zéros à la droite du dividende, mais nous avons opéré comme si ces zéros étaient écrits. Ainsi, après avoir abaissé le chiffre 9 du dividende pour l'écrire à la droite du premier reste, nous avons continué l'opération en écrivant un zéro à la droite de chacun des deux restes suivants avant de les prendre pour dividendes.

191. Division d'un nombre entier ou décimal par un nombre décimal. — Supposons qu'on ait à diviser 3, 14109 par 9,86. Le

diviseur q,86 est égal à la fraction - — : on aura donc le quo- " 100

tient demandé en multipliant 3,i4i59 par —^' On est ainsi

conduit à multiplier 3, i4i59 par 100 et à diviser ensuite le résultat 3i4, iSg par 986 :

8 499 6ii

Le quotient demandé est égal à o,3t8 augmenté de — rr de

millième; ce quotient est donc o,3i8 à un millième près.

On voit que :

Pour du'iser un nombre entier ou décimal par un nombre décimal, il faut supprimer la virgule dans le diviseur, multiplier le dividende par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de décimales dans le diviseur» et appliquer ensuite la règle du n° 190.

DES NOMBRES DECIMAUX. m

192. Il résulte des règles précédentes qu'un quotient décimal est toujours obtenu à une unité près de l'ordre auquel on s'arrête dans le calcul définiiif. On peut, d'ailleurs, en comparant au diviseur le reste trouvé, obtenir ce quotient à une demi-unité près du même ordre, par défaut ou par excès. En effet, si le reste est plus petit que la moitié du diviseur, la traction complémentaire du quotient (1C8) est moindre qu'une demi-unité du dernier ordre conservé. Si le reste est plus grand que la moitié du diviseur, cette même fraction surpasse une demi-unité du même ordre, et alors, pour avoir le quotient avec l'approximation voulue, il faut augmenter son dernier chiffre d'une unité o\\ forcer l'imité sur ce dernier chiffre. Dans le premier cas, on a le quotient par défaut; dans le second, on l'a par excès.

Dans l'exemple du n° 191, le reste 6ii surpasse la moitié

du diviseur q86: la fraction complémentaire —^ de millième

gbb

est donc plus grande qu'un demi-millième et, par suite, le

quotient est 0,819 à un demi-millième près, par excès.

193. Remarquons enfin que le reste d'une division décimale représente toujours des unités de même ordre que le dernier chiffre décimal du dividende avant qu'il ait subi aucune modification. Dans l'exemple du n" 190, le reste est égal à Ti millièmes, et le dividende donné est 3i,4i5. Dans l'exemple du n" 191, la division effectuée conduit au reste o,6t I ; mais, comme on a d'abord multiplié le dividende proposé par 100, le véritable reste est 0,0061 1, tandis que le dividende primitif a pour valeur 3,i4i5t).