Soit la fraciion t' dont on veut trouver la valeur à

moins de On doit (196) extraire l'entier contenu dans

,, . «X loP ,. .

1 expression — y — et diviser cet entier par iop.

Il faut donc multiplier le numérateur de la fraction par iop, ce qui revient à écrire p zéros à sa droite, diviser ce produit parle dénominateur de la fraction, et séparer ensuite p chiffres décimaux sur la droite du quotient entier obtenu.

Dans la pratique, on écrit successivement les zéros additionnels à droite des différents restes, et l'on met une virgule au quotient dès le premier zéro employé.

Si l'on applique celle règle à la réduciion de la fraciion -

en décimales, à moins d'un millionième, l'opéralion présenie la disposilion suivante :

lO 0,']l^2b5

el l'on a, à un millionième près,

On peul remarquer que le calcul ci-dessus revienl aussi (190) à effecluer la division du numérateur 5 par le dénominateur 7, à un millionième près.

201. l. Pour qu'une fraction ordinaire se réduise exactement en décimales, il faut et il suffit que son dénominateur ne contienne pas d'autres facteurs premiers que les facteurs 1 et 5, et le plus grand des exposants de ces facteurs marque le nombre de chiffres décimaux de l'expression décimale équivalente à la fraction donnée.

Soit, en effet, la fraciion irréductible t* Pour qu'elle se réduise exactement en décimales, il faut et il suffit (198) qu'on puisse multiplier a par une puissance de 10, telle que l'exprès-

sion T — se réduise a un entier x. Or, o étant premier

avec a, il faut, pour qu'il en soit ainsi, que io/' = 2/'x5/' (75) soit exactement divisible par 6; ce qui exige que 6 ne renferme que des facteurs premiers 2 et 5, et que p soii au moins égal à l'exposant le plus élevé de ces facteurs (128). L'énoncé est donc vérifié.

Soil, d'ailleurs, 6 = 2^ x 5/ et /^ >> ç. On aura

iir, LIVRE m. - CHAPITRE IV.

Si l'on avait simplement b = ip, on trouverait

Si l'on convient alors de regarder celui des facteurs premiers 2 et 5 qui n'entrerait i)as dans le dénominateur de la fraction donnée comme ayant dans ce dénominateur l'exposant zéro (73), on peut dire que, pour obtenir le numérateur X de la fraction décimale cherchée, il suffît de multiplier le numérateur de la fraction ordinaire par celui des facteurs premiers de son dénominateur qui a le plus faible exposant, ce facteur premier étant élevé à une puissance marquée par la différence des exposants des facteurs premiers du dénominateur.

Soit, par exemple, la fraction -^- On a ici 8 = 2'. Par con-

202. 11 est utile de justifier encore ce qui précède en remarquant que l'application même de la règle donnée pour réduire une fraction ordinaire en décimales (200) conduit à multiplier le numérateur de la fraction ou le dividende de la division efTectuée par une certaine puissance de 10, ce qui ne peut introduire dans ce dividende que les facteurs premiers 2 et 5; et, comme le dénominateur de la fraction ou le diviseur est supposé n'avoir aucun facteur premier commun avec le dividende primitif, la division ne peut se terminer qu'autant que le dénominateur de la fraction n'a pas d'autres facteurs premiers que les facteurs 2 et 5 (128).

203. II. Lorsque le dénominateur d'une fraction ordinaire irréductible renferme d'autres facteurs premiers que lesfac teurs 2 et 5, cette fraction ne peut pas se réduire exactemen en décimales.

Cet énoncé est la conséquence immédiate du théorème précédent (201).

On peut, dans ce cas, poursuivre indéfiniment l'application de la règle du n'' 200, sans jamais arriver à un reste nul; la

séquenl, p =

3 et

c'est-à-dire

8= ro3 =3'^^

fraction -? que nous avons considérée, en offre un exemple.

On exprime ce fait en disant que la fraction ordinaire se réduit en une fraction décimale d'un nombre illimité de chiffres décimaux. Si, dans cette fraction décimale illimitée, on prend une décimale, puis deux, puis trois,. . ., on a des valeurs de plus en plus approchées de la fraction ordinaire. L'erreur commise en prenant successivement ces diverses valeurs à la place de la fraction ordinaire pouvant ainsi devenir moindre que telle fraction que l'on voudra, on dit que la fraction ordinaire est la limite de la fraction décimale illimitée lorsqu'on prend dans celle-ci un nombre de décimales de plus en plus grand.

D'après cela, si deux fractions ordinaires se réduisent enla même fraction décimale d'un nombre illimité de chiffres, elles sont équivalentes, puisqu'elles ont les mêmes valeurs approchées à un dixième, à un centième, à un millième,....