DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES

204. On nomme/rac//o/i décimale périodique une fraction décimale d'un nombre illimité de chiffres décimaux, dans laquelle ces chiffres se reproduisent périodiquement et dans le même ordre à partir d'un certain rang.

L'ensemble des chiffres qui se reproduisent ainsi périodiquement se nomme la période.

Une fraction décimale périodique est dite périodique simple si la première période commence immédiatement après la virgule; elle est dite périodique mixte dans le cas contraire, et alors les chiffres qui précèdent la première période constituent la partie non périodique.

Ainsi 0,267 267 2^7- • • ^^^ ^^^ fraction décimale périodique simple dont la période est 267.

De même, 0,73267267267... est une fraction périodique mixte dont la période est 267 et dont la partie non périodique est 73.

205. L Lorsqu'une fraction ordinaire se réduit en une fraction décimale d'un nombre illimité de chiffres, cette fraction décimale est périodique.

ii8 LIVRE III. — CHAPITRE IV.

Soil la fraction -• Pour la réduire en fraction décimale, on opère de la manière suivante : .

lo I o,7 1428571 ....

On divise 5 par 7, ce qui donne pour quotient o et pour reste 5. On écrit un zéro au quotient et l'on place une virgule à sa droite. On écrit ensuite un zéro à la droite du reste 5 et l'on divise le résultat 5o par 7 ; le quotient 7 est la. première décimale. On écrit un zéro à la droite du reste i et l'on divise le résultat 10 par 7; le quotient i est la deuxième décimale; et l'on continue ainsi indéfiniment. Or, dans toutes les divisions partielles, le diviseur est constamment 7 ; par conséquent, les restes que l'on obtient sont tous plus petits que 7; d'ailleurs aucun d'eux ne peut être nul, car s'il en était

ainsi la fraction - serait réductible en une fraction décimale

d'un nombre limité de chiffres. Donc, dans le cours de l'opération, on ne peut obtenir, au plus, que 6 restes difîérents, savoir: i , 2, 3, 4, 5, 6. Il résulte de là qu'après avoir écrit, au plus, 6 chiffres décimaux au quotient, on obtiendra un reste déjà trouvé. Alors on sera évidemment dans les conditions où l'on était la première fois qu'on a obtenu ce reste : en d'autres termes, on sera conduit à exécuter, à partir de ce moment, la même série d'opérations qu'on a effectuée antérieurement; d'où il suit que les restes et les chiffres du quotient se reproduiront périodiquement.

206. II. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur est premier avec 10 se réduit en une fraction décimale périodique simple.

Soit, en effet. !a fraction irréductible yi dont le dénomina-

leur h est premier avec 10. Pour la réduire en décimales, il

faut diviser par le dénominateur b le numérateur a suivi d'un

nombre quelconque de zéros. Les dividendes successifs sont

donc

a, aXio, «Xio% rtXio', ....

Le quotient étant périodique (205), désignons par a X 10^ et rtX 10* deux dividendes donnant des restes égaux. Leur différence ax 10* — rtX 10^ sera alors un multiple de b (80). Cette différence pouvant s'écrire (72)

et 6 étant premier avec to^, puisqu'il est premier avec îo (119), il faut que le facteur {a X 10^-/ — a) soit exactement divisible par b (97). Il en résulte que, dans la série des opérations effectuées, les deux dividendes a Xio*-^et a donnent des restes égaux (79), c'est-à-dire que le premier reste qui reparaît est celui qui correspond au premier dividende a. La période commence donc dès la virgule, et le quotient décimal illimité est périodique simple (20i).

207. IIL Toute fraction ordinaire dont le dénominateur renferme à la fois des facteurs premiers 1 et 5 et des facteurs premiers différents se réduit en une fraction décimale périodique mixte, où le nombre des chiffres de la partie non périodique est égal à l'exposant le plus élevé des facteurs premiers 2 et 5 qui se trouvent dans le dénominateur de la fraction donnée.

Soit, par exemple, la fraction irréductible

3iÔo 63X2X5'

Multiplions ses deux termes par 2, afin d'introduire au dénominateur une puissance exacte de 10. Nous aurons

En réduisant -7^^ = ^ en décimales, nous obtiendrons

i'...o LIVRE III. - CHAPITRE IV.

le quotienl ?. ,507936507936. . ., qui esl périodique simple (206) à pnrlir de la virgule; pour en déduire l'expression décimale cherchée, il faudra le diviser par 100 en reculant la virgule de deux rangs vers la gauche. Nous aurons ainsi

ce qui vérifie l'énoncé.

208. Dans les exemples précédents, nous avons considéré des fractions ordinaires proprement dites. S'il en était autrement, on extrairait d'abord les entiers contenus dans l'expression fractionnaire donnée, et on les ajouterait ensuite au quotienl décimal périodique, simple ou mixte, fourni par la réduction de la fraction complémentaire en décimales.