NOTIONS PRELIMINAIRES. — NUMÉRATION DÉCIMALE

1. On entend par grandeur tout ce qui est susceptible d’augmentation ou de diminution. Un même objet fait par conséquent naître en nous l’idée d’autant de grandeurs distinctes que nous concevons de manières de le modifier. C’est ainsi que la présence d’un corps plus ou moins long, plus ou moins pesant, se mouvant plus ou moins vite, nous fait acquérir la notion des grandeurs que l’on nomme longueurs, poids, vitesses, etc.

2. Les mathématiques sont la science des grandeurs; toutes les grandeurs cependant ne sont pas de leur ressort. Par exemple , quoiqu’un objet puisse être plus ou moins beau , plus ou moins utile , l’étude du beau et de l’utile n’est pas une branche des mathématiques. Les mathématiques ne traitent que des grandeurs mesurables.

3. Mesurer une grandeur, c’est la déterminer avec précision en la comparant à une autre grandeur de même nature que l’on regarde comme connue. Dire, par exemple, qu’une longueur a trois mètres, c’est en donner la mesure et l’exprimer au moyen du mètre.

La grandeur qui sert ainsi à en mesurer d’autres prend le nom üunité. Dans l’exemple précédent le mètre était l’unité.

4. Le résultat de* la mesure d'une grandeur s’exprime par un nombre. Quand on dit , par exemple , une distance de trois mètres, un poids de quinze kilogrammes, un vase de trois quarts de litre, etc., les motsiroiJ, quinze , trois quarts, expriment des nombres.

L’idée de nombre a son origine la plus naturelle dans la considération de plusieurs objets distincts. C’est par extension qu’on l’introduit dans la mesure de toutes les grandeurs. Si l’on dit, par exemple, un troupeau de quinze moutons et un poids de quinze, kilogrammes, la grandeur contient, dans les deux cas, quinze fois son unité , mais , dans le premier, l’idée est plus simple , parce que la séparation des unités est matérielle, tandis que dans le second elle est purement fictive.

Les fractions et les nombres incommensurables, que les géomètres considèrent aussi comme des nombres, expriment entre la grandeur et son unité une relation plus complexe, dont nous développerons plus tard la nature.

& Quand un nombre est énoncé sans que l’on indique la nature des unités qu’il représente , on le nomme nombre abstrait ; dansée cas contraire, il s’appelle nombre concret, ainsi 7 est unnombre abstrait , et quand on dit 7 litres, le nombre est concret.

Ces dénominations sont très-répandues; mais nous devons avertir que la seconde pourrait faire naître une idée inexacte. Un nombre concret n’est pas un nombre, c’est une grandeur. Quand- on dit 7 litres , le nombre est 7, le mot litre complète l’idée, mais ne la modifie pas.

6. L’arithmétique comprend l’art d’effectuer les opérations auxquelles les nombres donnent naissance et l’étude de leurs propriétés ; mais cette seconde partie sera réduite, dans ce traité, aux propositions fondamentales qui peuvent faciliter ou abréger les opérations.

' NUMÉRATION DÉCIMALE

Définition des nombres entiers.

7 . Les nombres entiers sont ceux qui expriment l’unité ou la réunion de plusieurs unités. Leur étude constitue la partie

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principale de l’arithmétique, car c’est toujours sur des nombres entiers que se font , en dernière analyse , les opérations.

Quoique la manière d’écrire et d énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l’étude théorique de l’arithmétique , ce système de numération a une telle importance dans l’art de faire les calculs, qu’il est essentiel d’en indiquer avec soin les principes.

Numération parlée,

8. Les premiers nombres ont reçu des noms indépendants les uns des autres, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit , neuf et dix. Le nombre dix , qui se nomme base du système , sert à former des unités nouvelles dont l’emploi simplifie notablement l’exprcssiqfl parlée et écrite des nombres supérieurs.

Ces unités sont i • *

L’unité du second lîrdre ou L’unité du troisième ordre ou L’unité du quatrième ordre ou L’unité du cinquième ordre ou L’unité du sixièmé ordre ou L’unité du septième ordre ou Etc. '/

Chacune d’elles en vaut dix de l’ordre précédent ; et , par suite, cent de l’ordre qui précède de deux rangs, mille de l’ordre qui précède de trois rangs , et ainsi de suite.

Exemple. Un million vaut dix centaines de mille, cent dizaines de mille, mille fois mille, dix mille fois cent, et cent mille fois dix.

On a donné des noms particuliers à tous les nombres de dizaines inférieurs à dix dizaines. Ces noms sont : vingt , trente, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatrevingt-dix. 11 est inutile d'indiquer la signification de chacun d’eux.

Les nombres compris entre dix et cent s’expriment en indiquant le plus grand nombre de dizaines qu’ils contiennent et y joignant le nom du nombre moindre que dix , qui les complète.

C'est ainsi que l’on dit : trente-sept.

Dix unités simples.

Cent unités simples.'

Mille unités simples.

Dix mille unités simples.

Cent mille unités simples.

Un million d’unités simples.

Il est évident que l’on peut exprimer ainsi tous les nombres moindres que cent.

Les nombres plus grands que cent et moindres que mille s’expriment en énonçant le plus grand nombre de centaines qu’ils contiennent et ajoutant le nom du nombre, évidemment moindre que cent, qui les complète.

C’est ainsi que l’on dit : trois cent quarante-sept.

Il est évident que l’on peut exprimer ainsi tous les nombres moindres que mille.

Les nombres compris entre mille et un million, s’expriment en énonçant combien ils renferment de mille, et y joignant le nom du nombre inférieur à mille qui les complète.

C’est ainsi que l’on dit : trois cent quarante-deux mille huit cent cinquante-sept.

Pour exprimer les nombres compris entre un million et mille millions ou un billion, on indique conabiçirçes nombres renferment de millions, et on ajoute le nom du' nombre moindre qu’un million qui les complète. v .

C’est ainsi que l’on dit : trente-cinq millions huit cent trentedeux mille trois cent quarante-deux.

On peut continuer ainsi indéfiniment. Il suffit de savoir que mille billions font un trillion , mille trillions un quatrillion , etc.

9. Remarque. Dans l’emploi habituel dl* noire système de numération , les unités des 4", 7% 10*. . ordres {mille, millions, billions...) jouent le rôle le plus important Les autres disparaissent en effet du langage, et, si l’on excepte les dizaines et les centaines, l’on n’a même pas créé de mots particuliers pour les distinguer; en sorte que dans la numération parlée, au lieu d’appeler l’attention sur la décomposition des nombres en unités de premier, second , troisième, quatrième, cinquième ordre, on les présente comme décomposés en unités, mille , millions , etc., c’est-à-dire en unités de mille en mille fois plus grandes. Cet usage apporte plus de brièveté dans le langage ; mais comme les calculs se font toujours sur des nombres écrits , il n’exerce sur eux aucune influence.

Principes de la numération écrite.