Les neuf premiers nombres son! représentés par des

NUMÉRATION DÉCIMALE

ligures particulières que l’on nomme des chiffres. Ces neuf ligures, auxquelles on en adjoint une dixième, O, suffisent pour écrire tous les nombres. On est convenu, pour cela, de leur attribuer, outre leur valeur absolue , une valeur relative dépendant de leur position : un chiffre représente des unités d'un ordre marqué de par le rang qu’il occupe à partir de la droite, c’esl-à-dire qu’il représente des unités simples quand il n’est précédé d’aucun autre; des dizaines, s’il a un chiffre à sa droite; des centaines s’il en a deux , etc.

Exemple. Dans le nombre 4738 le chiffre 8 exprime des unités simples, 3 des dizaines, 7 des centaines et 4 des mille.

i 1 . Remarque. Un chiffre peut aussi être considéré comme exprimant des unités d’un ordre quelconque inférieur à son rang, pourvu qu’on en compte dix, cent, mille,..., fois plus si elles sont dix, cent, mille,..., fois moindres. Ainsi, par exemple, 3 suivi de cinq autres chiffres exprime également 3 centaines de mille, 30 dizaines de mille, 300 mille, 3000 centaines, 30000 dizaines ou 300000 unités.

12. De la convention qui précède, on déduit les deux règles suivantes . qui constituent la numération écrite.

Règle pour lire un nombre écrit.

Quand le nombre n’a pas plus de quatre chiffres, on énonce successivement les différents chiffres, en indiquant le nom des unités qu’ils représentent.

Exemple. 3454, trois mille quatre cent cinquante-quatre.

Lorsqu’il a plus de quatre chiffres on le décompose en tranches de trois chiffres à partir de la droite, la dernière pouvant seule avoir un ou deux chiffres. La première tranche représente alors des unités simples , la seconde des mille , la troisième des millions , la quatrième des billions, etc.; on lit successivement les nombres formés par l’ensemble des trois chiffres d’une même tranche, en faisant suivre cette lecture de l'indication de la nature des unités représentées parles tranches.

Exemple. Le nombre 34 211893514, se lit : 34 billions, 211 millions, 893 mille , 514 unités.

Règle pour écrire un nombre énoncé.

15. Le nombre étant décomposé conformément aux habitudes de la numération parlée , en unités simples, raille, millions , billions , etc., on écritles nombres de chacune de ces unités à la droite les uns des autres en commençant par celles de l’ordre le plus élevé, et finissant par les unités simples. Il faut avoir soin que chacun de ces nombres d’unités ait précisément trois chiffres, cl placer pour cela des zéros à la gauche de ceux qui sont exprimés par un ou deux chiffres. Si une de ces unités manquait complètement, il faudrait mettre trois zéros à la place des trois chiffres qui lui correspondent, afin que les chiffres placés à gauche conservassent la valeur relative qu'ils doivent avoir.

Exemple. Sept cent qnarante-troismillions quatre-vingt-dix-neuf unités, s’écrivent : 743 000 099. On écrit trois zéros à la place des mille qui manquent , et 099 au lieu de 99 pour la tranche des unités, afin que cette tranche contienne trois chiffres.

44. On voit que notre système de numération consiste essentiellement dans la décomposition des nombres en diverses parties , qui toutes dérivent simplement de l’unité principale , ce qui permet de se faire plus facilement une idée de leur valeur. Mais cet avantage n’est que secondaire , un autre bien plus important se manifestera à mesure que nous avancerons dans l’étude de l’arithmétique ; nous verrons que dans la solution de la plupart cîes questions d’arithmétique on opère séparément sur chacune de ces parties au lieu d’opérer immédiatement sur le nombre lui-même.

RÉSUMÉ

I. Définition des grandeurs. — 2. Les grandeurs mesurables sont seules du ressort des mathématiques. — 3. Définition de l’unité. — 4. Définition du nombre ; la pluralité est l’origine la plus simple de l’idée du nombre. — 8. Nombres abstraits] et nombres concrets; les premiers seuls sont des nombres. — 8. Définition de l’arithmétique. — 7. Définition des nombres entiers. — 8. Numération parlée; unités des divers ordres qui dérivent toutes, d’une manière simple, de l'unité principale. — 9. Importance particulière desunités simples, mille', millions, billions, etc., dans le système de numération parlée. — 40. Numération écrite; convention sur laquelle elle repose. — 41. Un chiffre peut être considéré comme re-

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présentant des unités d’un ordre quelconque inférieur à son rang. — 12. Règle pour lire un nombre écrit. — 15. Règle pour écrire un nombre énoncé. — 14. Notre système de numération consiste essentiellement dans la décomposition des nombres en un petit nombre d’unités de chaque ordre.

EXERCICES

' I. On écrit la suite naturelle des nombres sans séparer les différents chiffres. Chercher le 75892" chiffre de cette suite.

■v II. Prouver que le nombre qui exprime combien il y a de chiffres dans la suite naturelle des nombres, depuis l’unité jusqu'à un nombre dont tous les chiffres sont des 9 , 9999999

a pour dernier chiffre un 9 précédé d’un certain nombre de 8 , quf eux mêmes sont précédés d’un nombre d’autant d’unités qu’il y a de 8 à sa droite Par exemple , le nombre de chiffres que l’on doit écrire pour faire le tableau des 99 premiers nombres est 189; pour les 999 premiers il en faut 2889; pour les 9999 premiers 38889, etc.

1 III. Si l’on considère deux nombres quelconques, 1 et 2, par exemple , et qu’on forme une suite de nombres tels que chacun soit égal à la somme des deux précédents , c’est-à-dire que l’on opère de la manière suivante : 1 et 2 font 3; 2 et 3 font 5; 3 et 5 font 8; 5 et 8 font 13 , etc. ; prouver qu’en continuant indéfiniment, il y aura toujours quatre nombres au moins de cette série et cinq au plus, à avoir un nombre donné de chiffres.

I IV. Une loterie se compose de deux cents numéros, on ne possède que les numéros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Comment doiton s’y prendre pour faire le tirage? *•-

f V. On possède cinq poids. d’un gramme, cinq de dix grammes, cinq de cent grammes, cinq de mille grammes , cinq de dix mille grammes, etc. Montrer que l’on|peut peser Ji l’aide d’une balance un objet dont le poids est un nombre quelconque de grammes.