ADDITION ET SOUSTRACTION DES NOMBRES ENTIERS

Principe sur lequel repose la théorie de l’addition.

17 . L’addition de deux nombres quelconques se ramène à l’addition des nombres inférieurs à' dix , à l’aide du principe suivant :

Pour ajouter deux nombres , on peut, après les avoir décomposés en plusieurs parties, ajouter, dans un ordre quelconque, ces parties les unes aux autres, et réunir les sommes qui en résultent. Il est évident, en effet, que le résultat ainsi obtenu contiendra toutes les parties des deux nombres, et sera, par conséquent, leur somme.

Addition de deux nombres.

18. D’après cela, soit à additionner les deux nombres 7847 et 3952,

Ces deux nombres peuvent être décomposés chacun en quatre parties, unités, dizaines, centaines, mille, et on pourra , d’après le principe précédent, ajouter séparément les unités de même ordre et réunir les résultats partiels.

On dira 7 et 2 font 9 ; 9 peut être écrit immédiatement comme chiffre des unités, car les opérations suivantes ne fourniront que des unités d’ordre supérieur, et ne pourront, par conséquent, modifier le chiffre des unités simples.

4 dizaines et 5 dizaines font 9 dizaines ; on peut , par une raison semblable, écrire 9 comme chiffre des dizaines.

8 centaines et 9 centaines font 17 centaines, c’est-à-dire 1 mille plus 7 centaines; on peut écrire 7 comme chiffre des centaines et retenir le mille pour le réunir au chiffre suivant.

7 mille et 3 mille font 10 mille; en y joignant le mille retenu plus haut, nous aurons 11 mille, c’est-à-dire une dizaine de mille et un mille ; les chiffres correspondant à ces deux ordres d’unités sont , par conséquent, l’un et l’autre égaux à 1, et la somme demandée est 11799.

ADDITION ET SOUSTRACTION

Un raisonnement semblable pourra se faire dans chaque cas, et conduit à la règle suivante :

Pour additionner deux nombres, on les écrit l'un au-dessous de l’autre de manière que leurs unités de même ordre se correspondent. On ajoute d’abord les chiffres des unités ; si cette somme est moindre que 9, on l’écrit au résultat dont elle est le chiffre des unités ; si elle surpasse 9, on n’écrit que ses unités et on retient une dizaine pour la joindre à la somme obtenue par l’addition des chiffres des dizaines. On continue de même en additionnant toujours les unités de même ordre dans les deux nombres jusqu’à ce qu’on soit parvenu à celles de l’ordre le plus élevé, dont la somme, jointe à la retenue précédente , s’écrit telle qu'on l’a trouvée.

Si l'un des nombres proposés a moins de chiffres que l’autre, la règle précédente s’applique de môme , on doit seulement ' considérer les chiffres manquants à la gauche du plus petit nombre comme remplacés par des zéros.

Addition de plusieurs nombres.

19. Pour ajouter plus de deux nombres on procède d’une manière analogue et conformément à la règle suivante :

Pour additionner plusieurs nombres, on les écrit les uns sous les autres de manière que leurs unités de même ordre se trouvent sur une même colonne verticale. On fait la somme des chiffres de la première colonne à droite, qui est celle des unités; quand cette somme ne surpasse pas 9, on l’écrit au résultat comme chiffre des unités. Si elle surpasse 9, on n’écrit que les unités et l’on retient les dizaines pour les joindre à la deuxième colonne, sur laquelle on opère d’une manière semblable et ainsi de suite jusqu’à la dernière colonne, dont la somme jointe à la retenue précédente , s'écrit telle qu’on l'a trouvée.

Cette règle ne nous parait pas avoir besoin de démonstration; pour l’appliquer, il faut savoir ajouter plusieurs nombres d’un seul chiffre ; cette addition se fera successivement, c'est-à-dire qu'on ajoutera d’abord les deux premiers nombres, puis le résultat obtenu au troisième, et ainsi de suite. Ces opérations se font ordinairement sans prendre la plume.

DES NOMBRES ENTIERS

Preuve de l’addition.

20. La preuve d’une opération est une seconde opération qui sert de contrôle à la première. Pour faire la preuve d’une addition, on peut recommencer l’opération dans un autre ordre, par exemple en ajoutant de bas en haut si la première fois on avait ajouté de haut en bas. Si l’on retrouve ainsi le résultat déjà obtenu , ce sera une forte raison pour le croire exact.