SOUSTRACTION

Définitions.

21. La soustraction a pour but de chercher la différence de deux grandeurs , ou, en d’autres termes, ce qu’on doit ajouter à la plus petite pour la rendre égale à la plus grande. En arithmétique , ces grandeurs sont représentées par des nombres, et la soustraction a pour but de trouver la différence de deux nombres. Pour chercher la différence de deux nombres, il est inutile de connaître la nature des unités qu’ils représentent; ainsi en disant : douze moins quatre font huit, on exprime à la fois que douze mètres moins quatre mètres font huit mètres , douze maisons moins quatre maisons font huit maisons, douze centaines moins quatre centaines font huit centaines.

La soustraction s’indique par le signe — .

Exemple. 12 — 4 signifie 12 moins 4.

Le résultat d’une soustraction se nomme quelquefois le reste ; les deux nombres sur lesquels on opère , les termes de la soustraction.

Pour faire la différence de deux nombres quelconques , i! faut savoir par cœur les différences des nombres d’un seul chiffre, ainsi que la différence entre un nombre d’un seul chiffre el un nombre plus grand qui ne le surpasse pas de dix unités. Ces résultats sont, au fond , identiques à ceux que l’on doit savoir par cœur pour faire des additions ; par exemple , savoir que 7 et 5 font 12, c’est savoir que 12 moins 5 font 7.

ADDITION BT SOUSTRACTION

Principes sur lesquels repose la théorie de la soustraction.

22. Le raisonnement qui conduit h la règle de soustraction est basé sur les principes suivants :

1° Si deux nombres sont décomposés en un même nombre de parties, et que toutes les parties du plus grand surpassent les parties correspondantes du plus petit , la différence des deux nombres pourra s’ obtenir en additionnant les différences desparties correspondantes.

Exemplk. 8 surpasse 5 de 3 unités, et 11 surpasse 7 de 4 unilés. La somme 8 + 11 surpasse 5 + 7, de 3 + 4 ou 7 unités.

2° La différence de deux nombres ne change pas quand on les augmente l'un et l’autre également.

Soustraction de deux nombres.

23. Les deux principes précédents sont du nombre de ceux que l’on rendrait moins clairs en cherchant à les expliquer.

Le premier suffit quand tous les chiffres du plus grand nombre surpassent les chiffres correspondants du plus petit. Soit en effet 421 103 à soustraire de 783214 ; écrivons ces deux nombres l’un au-dessous de l’autre de manière que les chiffres qui expriment des unités de même ordre se correspondent sur une môme ligne verticale :

on retranchera successivement chaque chiffre de celui qui est au-dessus , et on obtiendra les chiffres de la différence , car en opérant ainsi , on retranche évidemment chaque partie du plus petit nombre de la partie correspondante du plus grand et on réunit les résultats de ces soustractions.

Quand la condition précédente n’est pas remplie, l’opération est un peu moins simple; soit 27513 à soustraire de 31274, écrivons ces deux nombres l’un au-dessous de l’autre :

nous dirons : 3 unités soustraites de 4 unités, reste 1 unité.

1 dizaine soustraite de 7 dizaines, restent 6 dizaines.

DES NOMBRES ENTIERS

5 centaines de 2 centaines ne peuvent se retrancher; nous ajouterons alors 10 centaines au nombre supérieur, et nous dirons : 5 centaines de 12 centaines restent 7 centaines.

Ayant ajouté 10 centaines au nombre supérieur, il faut, conformément au second principe , pour que la différence ne soit pas changée, ajouter aussi 10 centaines ou l mille au nombre inférieur ; nous continuerons donc l’opération comme si ce nombre avait 8 pour chiffre des mille. Nous dirons : 8 mille de 1 mille ne peuvent se retrancher, ajoutons donc dix mille au nombre supérieur, et disons : 8 mille de 11 mille, restent 3 mille.

Ayant de nouveau augmenté le nombre supérieur, nous devons augmenter d’autant le nombre inférieur, et il suffira pour cela de continuer l’opération comme si le chiffre des dizaines de mille était 3. Ce chiffre 3 retranché de 3, donnera pour reste 0, en sorte que la différence est 3761.

Remarque. Dans le raisonnement précédent nous avons supposé que les deux nombres eussent autant de chiffres l’un que l’autre; s’il n’en était pas ainsi, les chiffres manquants à la gauche du plus petit nombre seraient remplacés par des zéros qu’il serait môme inutile d’écrire.

D'après cela, on peut énoncer la règle suivante :

24. Pour faire la soustraction de deux nombres entiers on écrit le plus petit sous le plus grand, de manière que les unités du même ordre se correspondent, puis on retranche chaque chiffre inférieur de celui qui est placé au-dessus, en commençant par la droite; si l'une de ces soustractions est impossible, on ajoute dix unités au chiffre supérieur, mais alors on continue l'opération comme si le chiffre suivant du nombre à soustraire était plus grand d'une unité. Les résultats de ces diverses soustractions sont les chiffres de la différence cherchée.

2t>. On procède quelquefois, pour faire une soustraction, d’une manière un peu différente à laquelle quelques personnes trouvent un avantage.

Soit à soustraire 27513 de 31274.

ADDITION ET SOUSTRACTION

si le reste était connu, en l’ajoutant avec 27513 on devrait obtenir 31274 ; cette considération suffit pour trouver successivement ses différents chiffres à partir de celui des unités.

Le chiffre des unités ajouté à 3 doit donner pour somme 4 ou 14, comme la somme ne peut être 14 (il faudrait que le chiffre cherché fût égal à 11), elle doit être 4. Le chiffre des unités est , par suite , égal à 1.

> 1 et 3 font 4, dans l’addition de 27513 avec le reste inconnu il n’y a donc pas de retenue provenant de cette première opération.

Le chiffre des dizaines du reste, ajouté à 1 , doit donner pour somme 7 ou 17, et comme la somme ne peut être 17 (il faudrait pour cela que le chiffre cherché fut égal à 16), elle doit être 7 et le chiffre des dizaines du reste est, par conséquent, 6.

6 et 1 font 7, dans l’addition de 27513 avec le reste inconnu il n’y a donc pas de retenue provenant de cette seconde opération.

Le chiffre des centaines du reste, ajouté 5 5 , doit donner pour • sommé, 2 ou 12; la somme ne peut évidemment pas être égale à 2 , il faut donc qu’elle soit 12 et , par suite , le chiffre des centaines est 7.

7 et 5font 12 , donc ,'dans l’addition de 27513 avec le reste inconnu, on aura 2 comme chiffre des centaines et on devra retenir une centaine.

Le chiffre des mille du reste, ajouté à7 et à cette centaine qui a été retenue doit donner pour somme 1 ou 11. La somme ne pouvant évidemment être 1 , il faut qu’elle soit 1 1 et , par suite , le chiffre des mille est 3.

>3 et 7 font 10 et 1 de retenue il , il faudra donc, dans l’addition de 27513 avec le reste inconnu , poser 1 comme chiffre des mille et retenir 1 .

Enfin le chiffre des dizaines de mille du reste, ajouté à 2, et à cette dizaine de mille qui a été retenue, doit donner 3 pour somme ; le chiffre est donc O et le reste cherché est 3761.

Voici comment on doit parler en faisant l’opération de cette manière :

- DSS NOMBRES ENTIERS.

3 et 1 font 4 (après avoir dit cela, on écrit le chiffre 1), 1 et 6 font 7 (on écrit alors le chiffre 6), 5 et 7 font 12, je pose 2 et je retiens 1 (on écrit alors le chiffre 7) , 7 cl l de retenue 8,

8 et 3, 11, je pose 1 et je retiens 1 (on écrit le chiffre 3), 2 et 1 de retenue 3, 3 et O, 3. L’opération est terminée.

Pour faire facilement usage de ce procédé, il faut être assez bien familiarisé avec le^dditions dénombrés d’un seul chiffre, pour que , connaissant l’un d’eux et la somme que l’on veut avoir, le nom de l’autre se présente immédiatement à l’esprit, c’est dans ce cas seulement que l’on pourra additionner le reste avec le plus petit des nombres à soustraire , avant même que le reste soit écrit. ^

Preuve de la soustraction.

26. Pour vérifier une soustraction , il faut ajouter le reste au plus petit des deux nombres. Le résultat de cette addition doit être égal au plus grand.

De même que l’addition sert de preuve à la soustraction , la soustraction peut servir de preuve à l’addition. Pour qu’en effet une addition soit exacte, il faut qu’en retranchant de la somme trouvée l’un des deux nombres ajoutés, on trouve l’autre pour reste.

Soustraction d’une différence.

27. Théorème. Pour retrancher d'un nombre la différence dp deux autres, il faut retrancher le plus grand et ajouter le plus petit au résultat.

Par exemple, pour retrancher d’un nombre 10— 3 ou 7 unités on pourra d’abord retrancher 10 et ajouter 3 au résultat. Car en retranchant dix unités , on en retranche 3 de trop ; le résultat est donc trop faible de ces trois unités, et devient par conséquent exact quand on lui ajoute 3. f

Cette démonstration est générale, car elle ne repose nullement sur le choix particulier que nous avons fait des nombres 10 et 3.

18. Définition de l’addition; on peut opérer sur des nombres abstraits, et le résultat s’appliquera à des nombres concrets quelconques , pourvu

ADDITION ET SOUSTRACTION

qu’ils soient de même nature. — 16. Addition de deux nombres moindres que dix. — 17. Principe évident sur lequel repose la règle d’addition. — 18, 19. Règle d’addition pour deux ou plusieurs nombres. — 20. Preuve de l’addition. — 21. Définition de la soustraction. — 22. Principes évidents sur lesquels repose la théorie de la soustraction. — 23. Règle de soustraction lorsque tous les chiffres du plus grand nombre surpassent les chiffres correspondants du plus petit. — 24. Règle dans le cas général. — 28. Autre manière de présenter la théorie deft soustraction. — 26. Preuve de la soustraction . — 27 . Théorème relatifà la soustraction d’une différence.

EXERCICES

f I. Pour soustraire deux nombres l’un de l'autre, par exemple, 78324 de 92143, on peut procéder de la manière suivante :

opère* comme s’il s’agissait d’une addition en substituant au chiffre des unités du plus petit nombre, ce qui lui manque pour être égal à 10, et aux autres, ce qui leur manque pour être égaux à 9, et supprimant au résultat le chiffre 1 qui se trouve nécessairement à la gauche. Ainsi , dans l’exemple écrit plus haut, on dira 6 et 3 font 9; 7 et 4, 11, je pose 1 et je retiens 1; 6 et 1, 7 et 1 de retenue, 8; 1 et 2, 3; 2 et 9, 11 que j’écris, et je supprime , conformément à la règle , le dernier chiffre 1 . t II. Pour ajouter deux nombres, on peut procéder comme s'il s’agissait d’une soustraction, en substituant au chiffre des unités de l’un des nombres , ce qui lui manque pour être égal à 10, et aux autres, ce qui leur manque pour être égaux à 9, et augmentant le second nombre d’une unité de l’ordre immédiatement supérieur à celles qu’exprime le dernier chiffre du premier. Ainsi, pour ajouter 3752 et 8796, on relranchera 1204 de 13752.

5 III. Quand on ajoute plusieurs nombres , la somme des îiffrcs du résultat est surpassée par la somme totale des chiffres des nombres ajoutés, d’un nombre exact de fois 9.

| IV. Si l’on ajoute la somme de deux nombres à leur différence , on obtient pour résultat, le double du plus grand, et , en retranchant la différence de deux nombres de leur somme, on obtient pour résultat, le double du plus petit.

DES NOMBRES ENTIERS

/ V. Trouver trois nombres tels que la somme des deux premiers soit 12, celle des deux derniers 16, et celle du premier et du dernier 14.

| VI. Prouver que si l’on ajoute 11 à un nombre, la différence entre la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite, et la somme des chiffres de rang pair, ne peut être changée que d'un nombre exact de fois 1 1 , et énumérer les différents cas qui peuvent se présenter.

IVII. La production de la fonte en France a été, en 1847, de 6223852 quintaux métriques. On a importé, en outre.

De Belgique

De la Grande-Bretagne

D’Allemagne

De Suisse

De Sardaigne

De divers pays

On a employé, enfin, 443196 quintaux métriques de vieille fonte. Les exportations s’élevaient à 466 quintaux métriques; le reste a été employé en France , une partie à la fabrication du fer et de l’acier, l’autre au moulage de divers objets. Sachant que 1817147 quintaux métriques ont servi au moulage, trouver le poids de la fonte employée à la fabrication du fer et de l’acier. n VIII. La consommation du charbon de terre en France a été, pendant la même année, de 66088848 quintaux métriques. Sur cette quantité 44693420 proviennent des mines indigènes. Sachant que l’on a exporté 543792 quintaux métriques, trouver la quantité qui nous a été fournie par les pays étrangers ( la Belgique et la Grande-Bretagne).

■v IX. Le nombre des naissances en France est, annuellement, de 498012 garçons et 468342 filles; le nombre des décès est de 395024 pour le sexe masculin et 389^52 pour le sexe féminin; quel est l’accroissement annuel de population pour l’un et l’autre sexe?

> X. Le nombre des naissances a été pour les garçons , en 1811, de 468523 ; le nombre des jeunes gens appelés pour le recrutement de 1832 était de 284101, quel est le nombre des enfants décédés avant d’avoir atteint l’âge de 21 ans?