SUR UN MOYEN D'ABRÉGER I/EXTR ACTION DES RACINES CARRÉES
381. Tuéoréme. Lorsque l’on a trouvé plus de la moitié des chiffres de la racine carrée d'un nombre entier , on peut trouver tous les autres par une seule division.
Désignons par N un nombre entier et par a le nombre exprimé par l’ensemble des chiffres connus de sa racine, ces chiffres étant suivis d’autant de zéros qu’il y a encore de chiffres inconnus. Soit x le nombre, en général incommensurable, qu’il faut ajouter à a pour avoir la racine exacte ; on devra avoir
donc
2 ax -f- x* = N — a*.
La différence N — a 5 est un nombre connu , dont la suite ordinaire des calculs fait connaître la valeur. Désignons- le par R, on aura
2ax-|-x’=:R,
donc
et
2 ax = R — x*
Soit q le quotient de la division de R par 2 a, et R' le reste , l’égalité précédente devient
*=»+iS-2S-
Soit n le nombre des chiffres encore inconnus de la racine , x est alors moindre que 10”, et, par suite, x* est moindre que 10*"; mais, d’après l’hypothèse , a renferme au moins 2» 4-1 chiffres; donc aX2 est plus grand que 10 ! \ Il en résulte que
282 moyen d’abréger l'extraction des racines carrées.
— est moindre que limité. Il en est évidemment de même de 2 a
; la différence de ces deux fractions est, à plus forte raison,
moindre que 1 , et l'erreur commise en prenant
sera moindre qu’une unité.
q peut être la valeur exacte de x , ou la valeur approchée par excès ou par défaut. Il est important de distinguer les trois cas. Si l’on a q—x , il faut, d’après l’équation [1], que l’on ait
et, par suite,
Si g est plus petit que x, il faut, d’après la même équation [1], que x 1 soit plus petit que IV et, a fortiori, que g * soit plus petit que R'.
Si g est plus grand que x , il faut, au contraire, d’après l’équation [1], que x * soit plus grand que R' cl, a fortiori , que q * soit plus grand que R'.
Ainsi, suivant que q % sera égal à R’, plus petit que R' Ou plus grand que R', la valeur q , trouvée pour x , sera exacte , trop petite ou trop grande, l’erreur étant, dans tous les cas, moindre qu’une unité.
Application. Soit à extraire la racine carrée du nombre 7832174157242.
Ce nombre ayant treize chiffres, la racine cherchée doit en avoir sept. Si donc nous en connaissons quatre, la méthode précédente permettra d’obtenir les trois autres par une division. Or, on trouve, en appliquant la méthode générale, que les quatre premiers chiffres de la racine sont 2764; le nombre désigné par a, dans les raisonnements précédents, est donc ici 276400Ô, la différence R = N — a 1 , est 2478157242. Il faut diviser cette différence par le double de 2764000, c’est-à-dire par 5528000. En effectuant cette division , on trouve pour quotient 448 et pour reste 1613242. Ce reste étant plus grand que le carré de 448, la racine 2764448 est approchée à une unité près, par défaut.
