SUR LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION

reste sera, par conséquent, le chiffre des unités simples. De même, en divisant le quotient obtenu par 8, le nouveau quotient sera le nombre des unités du troisième ordre, et le reste le nombre des unités du second ordre, en continuant ainsi jusqu’à ee qu’on arrive à un quotient moindre que 8, on obtiendra tous les chiffres de l’expression demandée. Voici le tableau des opé-

rations

Les chiffres cherchés sont les restes successivement obtenus et le dernier quotient; l’expression cherchée est donc 2771556.

Remarque. Si la base choisie est plus grande que 10, il faudra employer plus de dix caractères. Par exemple, dans le système dont la base est 12, ou duodécimal, il faudrait un caractère pour exprimer 10 et un autre pour exprimer 11, on adoptera, par exemple, a et b. En appliquant la méthode précédente au nombre 59321 on trouve qu’il s’exprime, dans le système duodécimal, par 2a365.

Traduire, dans le système décimal, un nombre écrit dans un système quelconque.

580. Cette question ne diffère pas au fond de la précédente; il s’agit dans les deux cas de passer d’un système à un autre, et le système décimal n’a aucune propriété spéciale qui oblige à le distinguer des autres. On pourrait donc passer d’un système quelconque au système décimal par une série de divisions; mais ces divisions devraient être faites dans le système de numération dans lequel serait écrit le nombre donné, et pourraient, à cause du manque d’habitude, paraître plus embarrassantes. On peut leur substituer des multiplications faites dans le système décimal.

Exemple. Soit à traduire dans le système décimal le nombre 39«4, écrit dans le système duodécimal.

280 SIR LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION i

Le chiiîrc 4 exprime 4 unités.

Le chiffre a exprime 10 x 12 ou 120 unités.

Le chiffre 9 exprime 3X12-' ou 1296 unités.

Le chiffre 3 exprime 3 X 12’ ou 5184 unités, et par suite, le nombre proposé exprime les sommes de ces différents produits, c’est-à-dire 5624.

Remarque. On pourrait aussi passer du système décimal ù un système quelconque, en faisant seulement des multiplications; mais ces multiplications devraient être fuites dans le nouveau système de numération.

Nous ne donnerons aucun détail sur la manière d'opérer dans ces différents systèmes, qui ne sont jamais employés. Les règles élant d’ailleurs absolument les mômes que pour le système décimal, on n’aura aucune difficulté à les trouver et à les appliquer.

EXERCICES

I. Quels sont , dans un système quelconque de numération , les nombres qui jouissent de propriétés analogues à celles du nombre 9 et 11 [(77), (79)] dans le système décimal.

IL b étant la base d’un système de numération, si un nombre 0 divise br — 1 et un nombre N de m chiffres, 0 divisera tous les nombres résultant des diverses permutations circulaires de N (on appelle permutations circulaires de m chiffres les différents résultats que l’on obtiendrait en écrivant tous ces chiffres en cercle , et en les lisant, à partir d’un chiffre quelconque en suivant le cercle).