II.— Racine carrée par voie de division
Théorème.— Lu moitié plus un du nombre des chiffres de la partie entière de y N étant trouvés, on obtient Les autres en divisant le reste total par le double de la vuleur relutive de la partie déterminée à la racine et l'erreur est moindre que deux.
Supposons que /N soit composée d'une partie entière de (2n+1) chiffres ; en désignant par « la valeur absolue du nombre formé par les (n+1) chiffres de gauche, par & la partie entière complémentaire de y’N et par R le reste ; on a :
N=(aX 1004)" + Re(a X107):+2 (a X109)e+2+R
e=N=—(aX10n)3—2t—R N—(ax 10m) [ “
EF 2(aX10n) | Z(ax10n) — LZaxi1on)
R aa] Appelons 4 le quotient de R'le reste de la division de N—(ax 107)" par 2(aX 10°), il vient :
LA COS R ® jaxto) Kr y Hax10x J-
“ Let 7 Haxior ] ;
Or R étant le reste de la /N, le maximum de R vant
2(aX10%+&), car la différence entre les carrés de 2 nombres
consécutifs vaut l'unité augmenté du double du plus petit
nombre, donc le reste vaut au maximuin cette valeur dimi-
nuée de 1, c’est-à-dire le double du plus petit nombre, Done \
2(axX10n +) æ* R’ a Liaxio —*Haxio) — Xaxi0 es
: æ æ* R’ ss + 108) Tax 107) — ax 10 1]
Or N ayant (2n+1) chiftres : ‘ & en ayant (n+1), il s'ensuit que æ a 2n+1—n—1=n chifhes, Donc x est plus petit que le plus petit nombre de (n+1) chiffres e. a. d. æ<10r et aussi pour cette raison a>10n c. a. d. (aX10n )>10%a © Donc enfin :
10 Jo R nie, 1 Re — [ 10 EXIOR — 2x 10m ] ” TE R Lt) ]
et ajoutant aux
deux membres à il vient
1 'r1 0 +5<! donc enfin Tag—<2 ec. q.f. d.
N. B. Les signes (—<) et (—<) s'énoncent :
“ moins une quantité plus petite que ,, et “ moins une quantité plus petite ou égale à ,,
874. Application.—Déterminer 1/3 avec 8 décimales 300 00 00 00 00 00 00 00 [1,7320 (4-+1 des chiftres de la y/3)
173 20 00 00 0 5080 (4 chiffres de droite de 1/3). s:
Reste 2 88 00 00 00
: ÿ 3 Le reste étant > 5080 la racine est donc # v'3=1,73205080
par défant, avec une erreur moindre que 1 unité décimale du 8° ordre.
G.—NOTEs SUR LA RACINE CUBIQUE.
