I. Valeurs suocessives an

876, Il arrive souvent que l'approximation de #N n'est pas fixée, alors tout l'intérêt de la question se réduit à vbtenir des valeurs de plus en plus rapprochées ; dans ce cas on peut opérer comme sut :

Soit & une valeur approchée de #N et soit (a+x) la valeur complète demandée, On a alors '

N=(a+v) mu +3a"x+3ax"+" ou, comme première approximation &° et z° étant très petits :

N=a+3atx d'où 4 et alors moirmas Na a +N—a a 4N 2 N\ ne 7 mm © mieu unes LE 0)

Cette quantité est une valeur approchée de #N par excès, et l'on peut poser #WN=b—7 et alors

Nm(b—y)"=b"—30"y+3by"—y" ; et y° et y° peuvent être négligés comme très petits, on à pour 24 approximation

N=b—3by d'où y= PE et enfin pp LN 3b°—L"+N 2b+N 2 N ne nn enr nneer me (QE) ne valeur par défaut et ainsi de suite.

Cette méthode a, sur celle analogue pour la racine carrée, l'avantage de donner des résultats alternativement par excès et par défaut, c'est-à-dire de fixer l'’approximation ; car, si deux valeurs successives ne diffèrent, par exemple, qu'à partir de la 8° décimale, on serait en droit d'affirmer que les 7 premières décimales: sont exactes.

N. B. Ce procédé, et celui analogue pour la racine carrée, sont dûs à M° BERTRAND de l’Institut de France.

Ii RACINE CUBIQUE PAR VOIE DE DIVISION.

876. Théorème.—La moitié plus un, du nombre :i; chiffres de la partie entière de WN étant trouvée, on obtient les suivants en divisant le reste total par le triple carré de la valeur relative de la partie déjà déterminée à la racine et l'erreur est moindre que trois.

Supposons que #N suit composée, à sa partie entière, de (2n+1; chiftres ; en désignant par « la valeur absolue du nombre formé par les (n+1) figures de gauche et par x le nombre complémentaire de ŸN on a, R étant le reste : N=(a.109+&)°+R=(a.10%)" +3(a.10n)"z + 3(a. 109) +29+R d'où

N—(ax 10n)s a? æ* R

FT 8x 10 — Laxior 3x 10 *Faxion |

Appelons le quotient entier de [N—(aX 10») r 3 (a 10»): «R: le . il vient : RE, 1] "

zmq- R . a ar R’ ] PT ao ao Ho — Fes

Or la diflérence entre les cubes de-deux nombres consécutifs valant le triple carré du plus petit des nombres, plus le triple de nelui-ci, plus un ; il s'ensuit que le maximun de R vaut

3(aX10n+x) +3(ax10+x) et alors :

8(aX10" + z)* +3 (aX109 +) 8(aX10n) æ1 æ° R’ Faxi0 +3 ax 10 — {ax 10) (aX10n}* +2 (ax 10)æ+2? + ax10"+x CaX 10) Cu R’ Taxi tFrocon: 7 3(uX10n)

a=q—< à ou

2x Ca 1 æ

AO Gone Ÿ ax 100 * ax 10:

æ? œ FR’

Taxiots (aX 10%) 3(aX10n):

Or #N ayant (2n+1) chiffres ‘et & en ayant (n+1), il s'ensuit que æ a (2n+1—n—1)=n chiffres ; donc + est plus petit que le plus petit nombre de (n+1) chiffres c. a. d. x<10n ;

a a (n+1) chiffres, donc «>10? ; donc aussi aX 107> 10%

Il vient alors :

2X109 , 10%, 1, 10 ds ST ST BST dé Ge 7-76. 1 10% © 3x10®m 3x101m 2 1 1 mg (rt Ho +3 — sx ) 2 2 1 1 Mais pour næ=l ona: 10107 107 + 53x10 <!

et à plus forte raison 2 1 10 * 108 * 107 ie am —<3 877. Application. Déterminer #5 avec 4 décimales. 5 000 000 000 000 |, 170 (4+1 des chiffres de la racine)

<= 1 et par suite

| 867 000 000 100. Trop fc‘, car on ne peut obtenir que deux chiffres, Donc ÿ 5=1,7099 à moins de 0,0001.

N. B. Cette démonstration, comme la démonstration analogue pour la racine carrée est dûe à M" LÉON LECOINTE, professeur de Mathématiques à Bruxelles,