Théorème III. —/, racine carrée du plus grand
J 8 le nombre formé pur les chiffres chiffres de droite de À, exprime le nombre de d'izuines de v\. |
En effet, désignons Par « le nombre de dizaines, par b le chitfre des unités de ;/N et R l'excès de N sur le plus grand carré entier qui y est contenu. On aura :
Or la partie (a.10)? ne peut donner de chiffres significatifs d'ordre inférieur à celui des centaines ; done cette partie ne pourra être contenue que dans les centaines de N ,
Soit N’les centaines contenues dans N,
Nous allons prouver que la racine carrée du plus grand carré entier compris dans N° est précisément a.
Soit en effet 4’ la partie entière de VN',ona:
d'y N° <a'+1 d'où élevant au Carré, on a :
a? <N'<(a'4+1} et par suite, si N” représente le nombre formé par les deux chiffres de droite de N, on a : a? <N’, N°'<(u'+1)? puisque 0, N°” est <1 (théorème I) D'où enfin a’ ,10? <N'N"<(&41)2102 Or N'N'=N donc a’10 <VN <(a'+1)10
Ainsi y/N est compris entre a’ et (a’+1) dizaines donc 4=4
Corollaire.—Le premier chiffre dey/N s'obtient en extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans la tranche de gauche du nombre N, décomposé en groupes de deux chiffres, à partir de la droite,
. Si N’ est composé de plus de deux chiffres, on raisonne sur N°’ comme sur N, et on reconnaît que la racine carrée du plus gr&ad carré entier contenu dans le nombre de centaines de N’, est le nombre de dizaines de y/N° et ainsi de suite.
178. Théorème IV.—Si, uprès avoir retrunché de N, le carré des dizaines de la racine, on divise le reste du mombre de centaines, suivi au préuluble du 1: chiffre de la tranche suivante, par le double du nombre de dizuines obtenu à lu racine, on aura le chiffre des unités ou un chiffre trop élevé.
En eflet, après avoir retranché de N;'le carré des dizaines ; il vient :
Or, la purtie 2(u.10)b ne peut donner d'unités significatives d’un ordre inférieur aux dizaines ; done le chiffre de droite de l'excès indiqué ne peut en faire partie ; et par suite, en divisant le nombre formé par les chiffres à gauche du chiffre de droite, par le doubie du nombre des dizaines, on aura le chifire des unités ou un chitfre trop fort, car cette partie contient encore des unités de report, ayant pour origine le carré L? des unités et le reste R.
Corollaire.—On obtiendra done le second chiffre de la racine, ou un chiffre trop fort, en divisant.l'excès de la tranche de gauche sur le plus grand carré entier qui y est contenu, mais suivi du premier chiffre de la tranche suivante, par le double du premier chiffre de la racine.
Remarque I.—Lorsqu'après avoir déterminé un reste, et placé à sa droite le premier chiffre de la tranche suivante, le nombre ainsi formé est moindre que le double de la purtie déjà obtenue à la raçine, on place un zéro à la rucine, afin de conserver aux chiffres précédents leur valeur relative ; et pour
continuer l'opération, on écrit le second chiffre de la tranche considérée, puis le suivant, et on continue comme précédemment. j
Remarque II.—I| arrive parfois qu'on présume à tort, qu'un chiffre à essayer est trop grand, et qu’on le diminue immédiatement de une ou de Plusieurs unités ; dans ce cas on sera averti qu'on s'est trompé, lorsque le reste sera supérieur au double de la racine ainsi déterminée. (théorème 1)
179. Les théorèmes précédents permettent à l'élève de formuler la règle pour déterminer la partie entière de la racine carrée d’un nombre.
EXEMPLE : 5602689 2367 4 43 | 466 4727 16.0 3 6 7 129 | "129 | 5706 | 33080 312.6 279 6 3308.9 3308 9
180. Si à la fin de l'opération, il n'y a pas de reste, le nombre est dit carré parfait et la racine est exacte.
$ 3.—Lois DES NOMBRES NON CARRÉS PARFAITS,
181. Théorème I.— Jout nombre N admettant un facteur Premier à, n'est pas curré Parfait, s'il n'est Pas divisible par a?.
En effet, la j/N ne peut être que de la forme
na
Donc le carré doit admettre le facteur a?
Corollaire.— Tout nombre Pair qui n'est pas multiple de 4 n'est pas carré parfait,
182. Théorème II.— Tout nombre impair N qui, dimimué de une unité, n'est pas divisible par 4, n'est pus un carré parfait.
Car, la racine carré de N aurait la forme (2n+1), dont le carré 4n? + 4n + 1 admet le diviseur 4 après avoir été diminué de 1 unité.
183. Théorème III.— Tout nombre terminé par un des chiffres 2, 3, 7 ou 8 n'est pas carré parfait.
Cela résulte de ce que le carré de chacun des 9 premiers nombres n’est terminé par aucun de ces chiffres.
184. Théorème IV—Tout nombre terminé par un nombre impair de zéros, n'est pas carré parfait.
En effet, ln racine terminée par des zéros, donnerait un carré ayant à «a droite un nombre pair de zéros.
185. Théorème V.— Tout nombre terminé par 5 n'est pas carré purfuit, si le chiffre des dizaines n'est pus ?.
Car la racine na pour forme (a.10+5) dont le carré est (4.103? + 2(a.10)5+5? =
(4.102 + (a.10)10+-52 c'est-à-dire un nombre terminé par 25.
166. Théorème VI.—Tout nombre terminé pur 6 n'est pus carré parfait, si le mombre de ses dizuines n'est pas 2IApPAT .
En eftet, la racine carrée devrait être terminée par 4 ou par 6 dont les currés donnent 16 ou 36 ayant un nombre impair de dizaines,
187. Théorème VII —Un nombre N est premier lorsque, m'étant pas carré parfait, il n'est divisble par aucun des nombres premiers moindre que sa racine carrée (partie entière). à
En eflet, si N était divisible par un facteur premier > que VW, le quotient serait <1/ N et par suite, N admettrait un facteur premier moindre que v'N, ce qui est contre l'hypothèse,
