Si l’approximation de devient () la formule
(189) devient NE L <(x+1) et par suite æ& <
æxa a INw Gi Ua b NE< b
Il faut donc multiplier par ; les racines carrées entières,
par défaut et par excès, du produit cs déterminé à moins
de une unité,
EXEMPLE : V453 à 3 près
NE 453x36 —— = æ& 25
652=25 par défaut—26 par excès, et par suite
a 5 125 5 Fagn apatr me a 5 130 4 1H Dex 2001
652 à moins de une unité
et
Les deux racines sont donc 20; (par défaut) et 21% (par
excès).
Fer 5 Leur différence est dez
$5.—Du cu8e et DE LA rACIYE CUBIQUE.
193. On appelle cube d'un nombre, le produit de ce nombre pris 3 fois comme facteur.
Les cubes des neuf premiers nombres sont :
194. Théorème I.—Z4 différence entre les cubes de denr nombres qui diffèrent de une unité, vaut l'unité augmentée du triple produit du plus petit de ces nombres, pur luimême augmenté de un.
En effet :
: Corollaire.—La partie entière de la racine cubique d’un nombre fractionnaire est identique à celle de Ja partie entière de ce nombre.
195. Théorème II.—/4 purtie entière de lu racine cubique d'un nombre N, se compose d'autant de chiffres qu'il y a d'unités exactes ou pur excès, dans Le tiers du nombre de chiffres de lu partie entière de N.
Soit N' la racine cubique de N et syant n chiffres à sa partie entière. Ona identiquement, d'après un raisonnement précédent (178).
10n-1 <N'<10" Elevant au cube , 103% -3 N°3 <10% 10%-3 <N <10% Or 10%-3 est formé de 3n—2 chiffres, et 10% 4“ “ “ Sn+1 chiffres ; c'est-à-dire qu'ile admettent (n) et (n+1) tranches de à chiffres une d'entre elles m'en ayant qu'un. Done N ne peut avoir (3n+1) chiffres et en aura au minimum (3n—2). Il peut donc avoir (3n—2), (3n--1) ou 3n chiffres. C. q. f. d.
196. Théorème Il —La racine cubique du plus grand cube entier, contenu duns la nombre formé par les chiffres situés à guuche des trons chiftres de droîte de N, est le nombre de dizaines de ÿN
En effet, désignons par & le nombre de dizaines, par b le” chiffre des unités de #N et R l'excès de N sur le plus grand cube entier qui y est contenu.
Il vient :
Or, la partie (4.10) ne peut donner d'unités significatives d'un ordre inférieur aux mille ; donc cette partie ne peut se trouver que dans les mille de N.
Soit N' le nombre formé par les mille de N ; appelons N°” le nombre formé par ‘les 3 chiffres de droite de N.
Je dis que la racine cubique du plus grand cube entier compris dans N'est précisement 4
Car, a’ étant la partie entière de #N’, on a
a < P/N' < (a'+1) et élevant au cube
a3Z N° < (a+1} et, puisque 0, N” est moindre que l'unité, on& :
a3 € N’, N° < (a’+1} et multipliant par 10 pour
avoir N'N'=N, on a u'3108 € N'N" ou N <(a'+1)3103 d'où d'10 < PN < (+1) 10
Ainsi #N est comprise entre a’ et (a'+1) dizaines
Donc a=d
Corollaire.-.Le premier chiffre de #’N s'obtient en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans la tranche de gauche du nombre N , décomposé en groupe de 3 chiffres à partir de la droite.
Car si N'est composé de plus de 3 chiffres, cn raisonnera sur N° comme on l'a fait sur N.
197 Théorème IV.—S5, après avoir retranché de N le cube des dizuines de sa racine, on divise le reste du nombre de mille, suivi au Préalable du premier ch ifre de la tranche suivante, par le triple carré du nombre de dizaines ubtenu à la racine, on aura Le chiffre des units, où un chiffre trop fort.
En effet, le reste total de cette sonstraction est :
Or, la partie 3 (a:10}° b ne tives d’un ordre inférieur aux centain de droite de l'excès
cette partie contient encore W?,BetR,
Remarque L— Lorsque, après avoir déteriminé un reste et placé à sa droite le Premier chiffre de la tranche suivante, on obtient un nombre inférieur au triple carré de la partie
D LS uen D D rc vu
DU EU de ue rm Eee cime
obtenue à la racine, on place un zéro à la racine, afin de conserver aux chifires précédents leurs valeurs relatives ; pour continuer l'opération, on écrit les deux chiffres suivants de la tranche considérée et le premier chiffre de la tranche suivante, puis on continue comme précédemment.
Remerque I1—Il arrive parfois qu'on présume, à tort, qu'un chiffre est trop grand, et qu'on le diminue immédiatemeñt de une ou de plusieurs unités ; alors, on sera averti de l'erreur lorsque le reste sera supérieur au produit du triple de la racine obtenue par cette même racine augmentée de l'unité, c'est-à-dire 3a(a+1) [Théorème 1]
198. Afin de vérifier si le second chiffre trouvé à la racine est bon, il faut former la somine 3 (a.10} b+3 (a.10 jb2 +h3 et celle-ci doit pouyoir se retrancher de l'excès de la t-anche de gauche sur le plus grand cube qui y est contenu, et suivi de la tranche suivante
Cette somme (S) peut se mettre sous la forme
On forme donc successivement 3(a.10)? ; 3(a 10)b; et b? La somme (s) de ces 3 quantités multipliée par b doit pouvoir se retrancher de l'excès cité plus haut.
199. Les théorèmes précédents permettent à l'élève de formuler une règle pour déterminer la partie entière de la racine cubique d’un nombre
Exewpce : Soit à extraire <es 983 632 328 Disposition des calculs :
