ou 27:3=36:4 ou encore et plus communé

ment = que l’on énonce 27 est à 3 comme 36 est à 4.

Le premier et le quatrième termes sont appelés les extrêmes. Le deuxième et le troisième sont les moyens.

242. Lorsque les deux moyens sont égaux, la proportion est dite continue et le terme moyen s'appelle moyenne proportionnelle, dans la proportion par quotient, et moyenne arithmétique, dans la proportion par différence.

243. Théorème I.—Duns toute proportion par quotient, le produit des extrêmes est égal au produnt des moyens. a c b d fractions, multiplier les deux termes par une même quantité.

Soit la proportion on peut, sans changer la valeur des

Muitipliant les deux termes de 3 par d et les deux termes

de à par b ; il vient :

axd cXb 5Xd” dXb Ces deux fractions étant égales et ayant les dénominateurs égaux, il s'ensuit que les numérateurs le sont également, d'où . axd=bXxe c. q. f. d.

244. ‘fhéorème II.— Réciproquement, si quatre nombres sont tels que le produit de deux d'entre eux est égül à celui des deux autres, ces quutre nombres sont en proportion.

hs CEE RENE VA MESSE e

Si aXd=bxe on en déduit en divisant les 2 membres par bxd :

axd bxe d'où :

bXd bxd

245. Cette propriété permet de déterminer un terme quelconque d’une proportion connaissant les 3 autres.

Le thèorème I permet également de dire qu'on peut changer l'ordre des termes d’une Proportion pourvu qu’on conserve les mêmes extrêmes et les mêmes moyens, de sorte que le produit des extrêmes soit toujours égal au produit des moyens,

246. On appelle quatrième proportionnelle à trois nombres donnés A, B, C un quatrième nombre x tel que

A C De BxC - d'où Axxz=BXC et mi

Donc pour trouver une quatrième proportionnelle on divise le produit des mo yens par l'extrême connu.

On appelle troisième proportionnelle à deux nombres donnés A et B un nombre x tel que AB... 2 B:

px doù AXr=B =T Si le terme inconnu est tel que

A zx : PU N) FRRE a alors æ'=A XB d'où 85 AXB

Ce nombre x est alors appelé moyenne Proportionnelle entre A et B.

Donc la moyenne Proportionnelle entre deux nombres est égale à la racine carrée du produit de ces deux nombres.

247. Théorème III. — Dans toute Proportion, la somme ou la différence des deux Premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers, comme le 1er est au 3e ou comme le 2° est au 4°.

Soit la proportion 5 Ajoutons ou retranchons l'unité

aux deux membres de l'égalité, il vient :

e +l=-+ 55! 1 ou

ou encore en intervertissant

l'ordre des moyens

248. Théorème IV.—Dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence, comme la somme des deux derniers est à leur différence.

Soit is

Le théorème précédent donne :

a+b a e+td © A cause du rapport commun = il vient :

a+b a—b c+d c—d a+b c+d # PE = c..q. f. d.

949. Théorème V.—Dans toute proportion, la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou la différence des conséquents comme um antécédent est à son

ce qui peut s'écrire :

Soit - ce qui peut s'écrire :

et d’après le théorème III

eq. f d.

250. Théorème VI—Si on multiplie plusieurs pro- Portions terme à terme, les 4 produits forment une proportion.

Soient Bre 50 Edo

FRS = 2; A d'où l'on tire :

6XI5XI8 Sx27x21 OÙ I

251. Théorème VIL— Dans une suite de rapports égaux la somme des antécédents est à lu somme des conséquents Comme un antécédent est à son conséquent.

Soit la suite RE Æ

df h

nous donne 2-%—° b+d d

et comme Par:

et alors enfin

Des moyennes.