A.— OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES ENTIERS

837. I.—Un produit de deux facteurs renferme uutant de chiffres qu'il y en a dans les deux facteurs réunis ou un de moins.

Soient A et B deux facteurs ayant respectivement m et n chiffres. Je dis que le produit AXB contiendra (m+n) ou (m+n-—1) chiffres,

En effet, À ayant m cbiffres est plus petit que le plus petit nombre de (m +1) chiffres, et plus grand ou égal au plus petit nombre de m chiffres.

C'est-à-dire 10m-1<A< 10m

De même 10n-1<B<10n Et, faisant le produit 10m+n-2 CA X B<10m+n

Ce qui veut dire que le produit A x B est plus petit que le plus petit nombre de (m#n+1) chiffres (10M+2) : il x done au plus (m+n) chiffres. D'un autre côté, il est plus grand ou égal a 10m+n-2, c'est-à-dire le plus petit nombre de (m+n—1) chiffres : Conc il peut avoir (m+n—1) chiftres.

388, IL.—Si on effectue les divisions successives de N par a, du quotient entier par b, du nouveau quotient entier par ©, le dernier quotient entier est Lu partie entière du quotient de N par abe. ,

Appelons 9q,gq,gq, les quotients successifs et

Ti fa7, les restes correspondants.

Nous aurons donc successivement :

N=aq+r;| N=albg,+r,l+r,=

qi=bqi+Ts ç d'où aLb(cqas+r,)+ral4r quote) N=uabeg,+(abr,+ar,+",) (1)

Or r,, Ty Ta étant les restes, on peut écrire que : r,<a—1, r,<b-1, r,<c—1 D'où (1) devient :

N=abcq,+<[ab(o—1)-+a(b—1)+a-1] ee) N=abeg .+<(abe—ab+ab—a+a—1) N=abeg,+<(abc—1)

N 1 Des Donc ==9,+< (G-—) et, à fortiori

N 2 ae + <l On voit donc bien que q, est la partie entière de la division de N par abc, puisque la 2°-partie est plus petite que l'unité.