Théorème II.—Si P est premier avec À

1° Les P premières puissances A°, A' A:

divisées par P donnent au moins deux restes égaux à 1 2° jusqu'à la moindre puissance de À, autre que A°, ces restes sont différents 8° au delà, ile sont périodiques.

1° Les restes de A°, A', A°’,....AP-1 par P sont en nombre P et chacun étant plus petit que P, deux au moins sont égaux Si donc A" et A’ sont ces deux puissances donnant des restes égaux r, on aura :

An=PQ+r pass A Am—Am=PQ'—Q) A(AN'-m—1)= P(Q—Q) AA Q On voit donc que P divise P le produit Am(Am'-m—]) et comme il est premier avec A" il doit diviser (Am’-M—1), c'est-à-dire que ln division de Am'-" par P donne pour reste 1. 2° Donc, on voit qu'avant d'arriver à AP, il y a au moins une puissance Am'-® de À autre que A° qui donne pour reste 1.

Soit m'—men ; alrrs la suite des puissances devient : A°,A',A',A°,....An,...AP-1 et alors les restes de A°, A' A*...,An-1 par P sont différents, car si on pouvait supposer que deux puissances A®' et An” <An de À divisées par P donneraient des restes égaux à r, on aurait : An'=PQ+r An PQ +r) An'—An'æP(Q—Q) et A(AN"-n'—])== P(Q'—Q) et alors A°-2" divisé par P donnerait Pour reste 1, ce qui est contre l'hypothèse.

8° Enfin si A» divisé par P donne pour reste 1 on a : A=PQ+1 et on en déduit :

An+lm AnAm(PQ+1)A= PQA+A A°+%m An+1A=(PQA+A)A=PQA:4+A: et ainsi de suite A®=AtMm-1XA=PQAr4An C'est-à-dire que les puissances An, An+1, An+2,,, Aîn-1 donnent, étant divisées par P les mêmes restes que les puissances A° A! A2... An-1 divisées par le même nombre P.

854. Remarque.—Soit AM=PQ+r d'où AM+IZPQA+Ar on en déduit qu'un reste quelconque s'obtient en multipliant le précédent par À et en divisant le produit par P.

855. Application.—Déterminer le reste du quotient entier de 49% par 11.

Or les puissances 4° 41 42 4° 44 45 donnent par leur division par 11 les restes suctessifs :

1 4 5 9 3 1 Û Donc les puissances de 11 qui sont de la forme 45%, 46x+1, 45x+2 46x43, 45x44 admettent pour restes correspondants F6 75 943

Mais 4%6—45X19+3 45x+3 Le reste correspondant est done 9.

356. Théorème III.—Si À ayant a, b,c pour facteurs premiers el si A=aP ba c”, le nombre des nombres premiers avec À existant depuis 1 jusque À sera Ù aP-1 ba-1 c-1 (a—1) (b—1) (c—1)

En effet, les seuls multiples de a de 1 à A sont :

a, 2a, 3a, 4a.... À ou # en nombre #

En les supprimant, il reste de 1 à A

A—à =A(1 —2) nombres premiers avec & a a

De même pour b ; il existe & (1 — +) multiples de b et

en les supprimant, il reste de 1 à A

A1) 4-1) =a(1 1) (1-4) nt

premiers avec a et b.

On trouvera de même qu'il reste :

a(1 2) (1 5) Q- — +) nombres premiers

; avec a, b, c ou A(—) (+) (=) (1) Et en rempléçant A par

sa valeur, il vient :

r (a—1 c—1\ œtr æ ( = ) = — (£ )= ap-1ba-1 FRANS 1)(e-1) (2) 857. Exemple—Combien y a-t-il de nombres pros avec 720 entre 1 et 720 ?

720=2*X3*X5. Il y aura donc d'après (1) ou (2)

720( =) (=) (F5 )=102 nombres at