IL. —CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ

858. Theorème I.—Duns tout système de numération, le reste de la division d'un nombre par un diviseur à quelconque de Bm (B étant la buse) et le méme que celui de la division par à de la tranche de m chiffres de droite.

Soit N un nombre et appelons a, b, c, f.. .les valeurs absolues des tranches de m chiffres de droite à gauche :

N=...... feba de sorte que :

N=a+Bmb+Bmc+Bsmf+ c. à. d.

N=a+B"(b+Bmc+Bmf+,,..) 0)

Or la partie Bm(b+Bmc+ B?mf+....) du 2° membre est : un multiple de d, done divisible par d.

Donc le reste de N par d est le même que celui de la partie non divisible par d.

859, Théorème II— Dans tout système de numération le reste de la division d'un nombre Par un diviseur à quelconque de (B"—1) (B étant la base ) est le même que celui de la somme des tranches de m chiffres de droite à gauche, par le méme diviseur à.

Soit encore N=a + Bmb+ Bmc+Bimf+

Ajoutons et retranchons a+b+c+.... il vient :

N=a+Bb+Bîme+Bim/+. a +b+c+f—a—b—c—.. .

(2) N={[6(B"—1)+0(B2m—1)+f(Bim—1)+..1+

Or d divisant Bm—], on en tire

B=dQ+1 d'où Bm=(4Q+ 1)Bm=—dQBn + Bn d'où Bèm—dQBm+dQ+1 où

Bm—1=dQB"+4Q = d(QB" + Q)= dQ ce qui indique que B—1 est divisible par d et ainsi de suite. Donc la première partie du second mewubre de (2) est divisible par d ; donc le reste de N pas d est le même que celui de la partie non divisible par d, c'est-à-dire (a+b+co+f....)

: €60. Théorème IL:.—Dans tout système de numération le reste de la division d'un nombre Par un facteur à. de Bm+1(B=base) est le même que celui Par à de la somme des tranches de m chiffres de rang impair sur celle destranches de m chiffres de rang pair, en commençant par la droite

Soit encore N=a+Bmb+B?mc+Binf+....

qu'on peut encore écrire comme dans le théorème II

(3) N={b(Bm+1)-+0(B20 —1)+f (B%+1)+.... 4 ‘ (a—b+e—f+....) Or Bmyl=dQ d'où Bw—dQ—1 et B"—(dQ-—1) B" D'où Bîm—BmdQ—Bm=BmdQ—dQ+1 c. a. d.

Bin 1 =dQB"—1Q=d(B"Q—Q)=d0 qui montre bien que (B?"—1) est divisible par d. De même Bm—B2"Bm—(Bm4Q—dQ+1) B" =BmdQ —B"dQ+B"— =BdQ—BrdQ+dQ—1, d'où Bin}1=d(B"Q—B"Q+Q)-dQ" qui montre que B%+1 est divisible par d et ainsi de suite.

IL s'ensuit que la 1ère partie du 2% membre de (3) est divisible par d, done le reste de N par d est le même que celui de l'autre partie par d, «’est-à-dire de (a—b+c—f....)

861. Théorème IV.—Duns tout système de numération, un facteur à de (mB+1), B étant la base, est diviseur d'un mombre, lorsque l'excès du nom bre d'unités du second ordre, eur le nombre formé par m fois la figure de droite, est multiple de à.

Soit N un nombre et désignons par a le chiffre de droite et N'le nombre d'unités du second ordre ; on aura :

Ajoutons et retranchons (mBa) au 2 membre de (1), il vient :

=N'B+a-+mBa—mBa N=B(N'—ma)+a(mB+1)

Or, atmB+1) est divisible par d par hypothèse, donc N sera divisible par d, si (N'—ma) est divisible par d.

362. Théorème V.—Duns tout système de muméralion, un facteur à de (mB—1), B étant la buse, est diviseur d'un nombre, lorsque le nombre d'unités du second ordre augmenté de m fois Le chiffre des unités, esi multiple de à.

Soit a le chiffre des unités et N° le nombre des unités du 2 ordre du nombre N, On aura.

N=N'XB+« et comme précédemment N=B(N'+ma)—(mB=1)e Or d divise (mB—1)« ; done N sera divisible par dsi (N'#Fma) est divisible par d