Exemple.— Déterminer les diviseurs simples et com

posés de 12600 et leur somme 12600=2X3:X 5° x 7 D'après (2) le nombre des diviseurs est donc (3+1)(2+1).2+1)(1+1)=72 D'après (3) leur somme c

Se PT PI T1 ssggo

1 51" 5 i*77 E—DES FRACTIONS PÉRIODIQUES.

866. Théorème L.— Toute fraction ordinaire irréduoti. ble, dont le dénominateur D ne contient pas d'autres racteurs

Premiers que ceux de la base B est convertible en une expres-

sion dont les chiffres, exprimant des unités de B en B Juis plus petites, sont en nombre limité, et indiqué par le plus haut quotient entier exact où our excès des exposants des facteurs de D, divisés par les ‘æposants des mêmes facteurs

de la base B.

Soit une fraction irréductible 5 et supposons que la base

B contienne les facteurs premiers b, c, d, un nombre tel que B=bncvda Supposcns aussi que le dénoniinateur D contienne les mémes facteurs b, c, d en nombre tel que D=br'er' du Soit r le plus haut quotient entier exact ou par excès de Fée : de sorte que l’on ait nur; p'<pr; Qj<qr. (1) Alors en multipliant la fraction : par une puissance r de

la base, il vient :

N+Br __N+bmwerrlar Valeur entière, puisque le numéra. D bwed teur est multiple de D en vertu de (1). De plus B' est la moindre puissance de B par laquelle il faut multiplier le facteur pour obtenir un quotient entier : cur, si en multipliant seulement par B'-1, le numérateur de la nouvelle fraction contiendra au moins l’un des facteurs à une puissance dont l’exposant serait «uw moins inférieur de une unité à l'exposant du facteur analogue de D et le quotient ne serait pas entier.

Donc après r opérations successives, la division sera terininée et elle ne peut l'être avant.

367, Corollaire.—Toute fraction ordinaire irréductible du système décimal, dont le dénominateur ne contient pas de facteurs premiers différents de 2 et 5, donne lieu à une fraction décimale composée d’un système limité de chiffres et dont le nombre est le plus haut exposant de 2 et de 5 dans le dénominateur,

En effet, pour B=bxXa=2x5=10

et r devient égal à la plus haute valeur de n et p', c'est-àdire 1.

868. Théorème Il—Toute fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur D contient d'autres facteurs premiers que ceux de la base B, donne lieu à une expression dont les chiffres exprimant des unités de B en B fois plus petites sont en nombre illimité et sont de plus périodiques.

Car, en multipliant le numérateur N par B,B',B°...., on n'introduit pas dans N les facteurs étrangers à la base, qui existent au dénominateur ; et par suite le quotient de N par D ne sera Jamais entier. Donc le nombre des chiffres est illimité.

De plus, le quotient est périodique ; car chaque reste devant être inférieur à D, on devra au plus tard à la (D—1)}° division

- après la virgule, retrouver un reste déjà obtenu, lequel suivi d'un zéro, forme un quotient obtenu précédemment et ainsi de suite. Donc la suite est périodique.

Remarque.— Les fractions périodiques sont dites simples ou mixtes suivant que la période commence ou non au premier chiffre à droite de la virgule. .

869. Théorème Il.—Toute fraction ordinuire irréductible dont le dénominateur ne contient aucun des facteurs de lu base, donne lieu à une fraction périodique simple.

Soit 5 une fraction irréductiblé, D ne contenant aucun des

facteurs de la base, et supposons que cette fraction ait donné naissance à une fraction périodique mixte.

0,x'y'zlayzturyztu....

La théorie des fractions périodiques (159) nous dit que

N° 2'y'élayatu—x'y'zt D aaaaa0000 @ étant le plus haut chiffre significatif de la base B

Supposons que cette fraction réduite à sa plus simple : Ne expression donne une fraction D: On aura alors :

Or ces deux fractions sont irréductibles, donc il faut que

N=N' avec D=D' ù

Or D=D' est impossible, puisque D’ contient des facteurs n'entrant pas dans D, '

Ainsi la fraction étant périodique, ne peut être que périodique simple.

870. Théorème IV.—Toute fraction irréductible dont le dénominateur, outre les facteurs différents de ceux de la buse, contient des diviseurs de la base, donne lieu à une fraction périodique mixte dont la partie non périodique est composée

‘autant de chiffres qu'il y a d'unités dans le plus haut quotient entier ou par excès des exposants des facteurs de la base entrant dans le dénominateur, divisés io les exposants des mêmes facteurs de la base.

Soit la base B=bncPda et soit - la fraction contenant, dans le dénominateur D outre les facteurs b, c, d de la base d’autres facteurs représentés par D’

PRO EE D DovePar

Alors Soit r le plus grand quotient entier ou par excès des rapports

D'abord la fraction est périodique mie car si elle était simple, o on pourrait avoir N zæyatu N°

Das D" [a=-B-1]

étant des fractions irréductibles, da doit “avoir N=N’ avee D=D”

e Or. D=D” est impossible, parce que D et D” ne contiennent pas les mêmes facteurs premiers de la base, Ensuite, si la partie non périodique ne se composait que de (r—1) chiffres, on pourrait avoir N 4 N' D Dae=-bent-nqar=5 Alors, en réduisant cette fraction À ses moindres termes, son dénominateur renferme un des facteurs b,c, d de la base B à une puissance moindre que dans le dénominateur D de la fraction irréductible égale ; ce qui est impossible. On verrait de même que la période, ne peut commencer après (r+1) chiffres ; donc, elle débute dès le (r+1)}e chiffre