En augmentant les antécédents

En augmentant les conséquents :

| 2 :6::5 : 15 2 x 15==6 K D==80 En diminuant les antécédents :

En diminuant les conséquents :

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Logarithmes,

Le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever un certain nombre invariable pour produire le premier nombre.

On appelle progression, en général, une suite de nombres croissant où décroissant de manière que le rapport de chacun au précédent est toujours le même. |

La progression est dite arithrétique où géométriqueselon que ce rapport est une différence o 1 un quotient.

Les logarithmes sont des nombres en progression arithmétique qui répondent terme pour terme à une pareille suite de nombres en progression géométrique ; telles sont les deux progressions suivantes :

#æ 2:91: 9%: 925: 9%*:.ete., ou # 1 1:92 : 4 : 8 : 16 : etc.

+ 0 .1 ,2% ,.8 , 4 . etc.

Chaque terme de la suite inférieure est le logarithme du terme qui lui correspond dans la progression géométrique.

Comme les termes de la progression géométrique sont formés des puissances successives de ?, on dit que 2 est la base de ce système de logarithmes.

Les deux progressions peuvent être choisies arbitrairement ; quelle qu’en soit la raison, les termes de la progression arithmétique seront toujours les logarithmes des termes supérieurs.

Un même nombre peut donc avoir une infinité de logarithmes différents, puisqu’à une même progression géométrique, on peut faire correspondre un nombre indéterminé de progressions arithmétiques.

Celle qu’on a choisie pour la formation des tables est la progression décuple à laquelle correspond comme progression arithmétique Ja suite naturelle des nombres : Ces progressions s’écrivent ainsi:

+1 : 10 : 100 : 1000 : 10000 : 100000 : etc, Logarithme +0. 1. 2 . 8. 4 . 5 .oetc.

Rrmarque.—On voit que les nombres compris entre 10 et

100 ont pour logarithme 1 et une fraction ; que ceux qui sont

entre 100 et 1000 ont pour logarithme 2 plus une fraction, Ainsi le logarithme de 429 est plus grand que celui de 100 et plus petit que celui de 1000, il doit donc être 2 et une fraction ; de même celui de 8840 doit être plus grand que celui de 1000 et plus petit que celui de 10000, il doit donc être 8 et une fraction.

Il en résulte que les logarithmes ont toujours autant d'unités entières moins une, qu'il y a de chiffres dans la partie entière du nombre auquel ils appartiennent.

Cette partie entière d'un logarithme se nomme la caractéristique.

Dans les deux dernières progressions indiquées on ne trouve que les logarithmes de 1, 10, 100, 1000, etc.; mais si on insère un très-grand nombre de moyens prorortionnels géométriques entre 1 et 10, puis un même nombre entre 10 et 100, entre 100 et 1000, etc., et autant de moyens proportionnels arithmétiques entre 0 et 1, entre 1 et 2, entre 2 et3, etc., on aura dans la nouvelle progression géométrique des termes qui approcheront indéfiniment des nombres 2, 3, 4, 5, etc., et dont on pourrait regarder les logarithmes comme les véritables logarithmes de 2, 3, 4, 5, etc. C’est ainsi qu'ont été construites les tables de logarithmes.

Je puis exprimer la progression comme suit :

2109 : 101: 10%::103 : 104 : 105: etc. Disposant lestermes de ‘cette progression dans l’ordre suivant :

105—100000 dont le logarithme est 5 104= 10000 “ 4 10%= 1000 8 10%= 100 2 10'— 10 1 10°= 1 0 1071= 0.1 1 1072= 0.01 2 10-3— 0.001 3 10-4:= 0.0001 ‘

* Én examinant attentivement ce petit tableau, je vois que si,

dans la 8e colonne, j'ajoute 2 à 1, j'ai 8 ou le logarithme de 1000 ;

. #i j'ajoute 8 à 2, j'ai 5 ou le logarithme de 100000 ; c'est comme si j'avais multiplié 100 par 10 et 1000 par 100.

Si maintenant, dans la même colonne, je soustrais 8 de 6, il reste 9, ou le logarithme de 100 ; c’est comme si j'avais divisé 100000 par 1000, en effet le quotient est 100.

Si dans la même colonne, j'élève 2 au carré, j'ai 4, ou le logarithme de 10000 ; c’est comme si j'avais élevé 100 au carré. Si je divise 4 par 2, le quotient est 2, ou le logarithme de 100 ; c’est donc comme si j'avais extrait la racine de 10000,

Ainsi petit même petit

inités re du

tique.

rouve re un entre [00 et entre uvelle iment ler les 5, etc.

nes de

Dans les calculs par les logarithmes les multiplications sont dong des additions, les divisions des soustractions ; il suffit pour élever un nombre à une puissance quelconque de multiplier lé, logarithme du nombre par l’exposant de la puissance; pour extraire une racine, il suffit de diviser le logarithme de la puissance par l’exposant du radical.

On voit que le calcul par les logarithmes simplifie beaucoup les opérations.

Pour £e servir d’une table de logarithmes, il faut savoir résoudre deux problèmes: 10. trouver le logarithme d’un nombre donné ; 20. trouver à quel nombre appartient un logarithme.