L’unedes propriétés principales des progressions
arithmétiques est que la somme du premicr et du dernier terme est égale à celle du deuxième avec l’avantdernier, etc. En effet, soit la progression suivante de six termes :
Le dernier terme 18 se compose du premier terme 3 et de 5 fois la raison qui est aussi 3, c’est-à-dire de 3 +5 fois 3; mais le deuxième terme est composé du premier terme 3 et d’une fois la raison, c’est-à-dire de 343 et le cinquième du premier—-4 fois la raison, c’està-dire de 344 fois 3. En rapprochant ces termes nous aurons pour la somme du premier ct du dernier 33 +5 fois 3=(5X3)+6—21; et pour celle du deuxième avec l’avant-dernier 343<+3+3 fois 4 ou 34+34- 5 fois 3 ou 6+(5X3)=21 ; donc, etc.
Pour faciliter ces sortes d'opérations, nous représenterons le premier terme par P, le dernier par D, la raison par R, le nombre de termes par N ; N—1 représentera le nombre de termes qui précèdent le dernier, et la somme sera réprésentée par S en nous servant des signes usités dans cette ouvrage. Ce qui sera mis entre deux crochets doit être opéré, avant de faire le reste.
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Formules Générales.
Pour le 1° terme, P=D-R X (N—1)
Pour le dernier terme, D=P+RX (N—1)
Pour la raison, R=(D—P) > (N—1)
Pour le nombre des termes, N=D—P>R+ 1
Pour la somme, S=(P+HD)XN> 2.
S'il manque un terme pour une formule on le cherchera par le moyen d’une autre. La première formule se lit ainsi: Le premier terine égale le dernier moins la raison multipliée par le nombre des termes diminué de l'unité, c'est-à-dire moins le dernier terme, ainsi des autres.
Exercices sur les Progressions Arithmétiques.
P. 1064. On demande le 18° terme d’une progression arithmétique dont le 1° est 4 et la raison 5.
P. 1065. Connaiïssant que le 18°. terme d’une progression arithmétique est 89 et que la raison est 5: on demande le 1* terme.
P. 1066. Un débiteur a 18 créancicrs: il doit 89 sch. au dernier, la somme qu’il doit aux autres va en dimiauant de 5 sch.: on demande combien il doit au premier.
P. 1067. Un particulier a acquitté une dette en plusieurs paiemens ; le premier a été de 4 sch. et le dernier de 89 sch.; chaque paiement augmentait de 5 sch.: on demande combien il a fait de paiements.
P. 1068. Une dame charitable a donné tous les jours de l’année l’aumône à un pauvre ; le premier jour elle lui donna 10 sous, le second 25: en augmentant ainsi de 15 sous: combien lui donna-t-elle le dernier jour?
P. 1069. Un particulier voulant favoriser un jeune homme, lui donna le 1“ jour de l’an 10 sous ; on ne
dit pas combien il lui donna les autres jours, mais on sait que le don du dernier jour montait à 54 sch.; combien le jeune homme a-t-il reçu en tout ?
